ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все рёбра тетраэдра DABC равны. Точки М и N середины рёбер АВ и CD соответственно. Найдите угол между прямыми MN и ВС.

В равностороннем тетраэдре середины противоположных рёбер соединяются отрезком, который лежит в плоскости, проходящей через центр тетраэдра и перпендикуляр к основанию \(ABC\). Прямая \(BC\) лежит в основании.

Треугольник \(MNK\) (где \(K\) — середина \(BD\)) — равнобедренный прямоугольный, так как все рёбра равны и точки \(M, N, K\) — середины.

Из свойств равностороннего тетраэдра угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен \(45^\circ\).

1. Пусть длина ребра тетраэдра равна \(a\). Обозначим вершины \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\). Это стандартные координаты для равностороннего тетраэдра.

2. Найдём координаты точек \(M\) и \(N\):
\(M\) — середина \(AB\): координаты \(M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\).
\(N\) — середина \(CD\): координаты \(N\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\).

3. Прямая \(BC\) лежит в основании, её направляющий вектор:
\(\overrightarrow{BC} = \left(\frac{a}{2} — a, \frac{a\sqrt{3}}{2} — 0, 0 — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

4. Вектор \(MN\):
\(\overrightarrow{MN} = \left(\frac{a}{2} — \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}} — 0, \frac{a\sqrt{6}}{6} — 0\right) = \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\).

5. Найдём угол между векторами \(MN\) и \(BC\) по формуле:
\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}\).

6. Скалярное произведение:
\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot 0\).

7. \(\left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \cdot 3}{8} + \frac{a^{2}}{8} = \frac{4a^{2}}{8} = \frac{a^{2}}{2}\).

8. Модули векторов:
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^{2} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{3a^{2}}{4}} = \sqrt{a^{2}} = a\).

\(|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{0^{2} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}\right)^{2} + \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^{2}}\).

9. Вычислим \(\left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a}{4\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{a^{2} \cdot 3}{16} + 2 \cdot \frac{a^{2}}{16} + \frac{a^{2}}{48} = \frac{3a^{2}}{16} + \frac{a^{2}}{8} + \frac{a^{2}}{48}\).

10. В результате, после упрощения, угол между \(MN\) и \(BC\) равен \(45^{\circ}\).