Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что прямые B1D и AD1 перпендикулярны.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB₁ и C₁D₁. Отрезок MN параллелен AD₁ и равен половине его длины.
Четырёхугольник MB₁ND — ромб, так как его стороны равны и противоположные стороны параллельны.
Диагонали ромба MB₁ND (а именно B₁D и AD₁) пересекаются под прямым углом, значит, \(B_1D \perp AD_1\).
1. Пусть длина ребра куба равна \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).
2. Найдём координаты точек \(B_1\), \(D\) и \(A\), \(D_1\): \(B_1(a,0,a)\), \(D(0,a,0)\), \(A(0,0,0)\), \(D_1(0,a,a)\).
3. Запишем вектор \(B_1D\): \(B_1D = (0 — a, a — 0, 0 — a) = (-a, a, -a)\).
4. Запишем вектор \(AD_1\): \(AD_1 = (0 — 0, a — 0, a — 0) = (0, a, a)\).
5. Проверим их перпендикулярность: скалярное произведение \(B_1D\) и \(AD_1\):
\((-a) \cdot 0 + a \cdot a + (-a) \cdot a = 0 + a^2 — a^2 = 0\).
6. Так как скалярное произведение равно нулю, то \(B_1D \perp AD_1\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!