ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MC = 3 : 2\). На отрезке \(BM\) отметили точку \(K\) так, что \(BK : KM = 4 : 1\). Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Найдите площадь треугольника \(ABP\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(34\) см\(^2\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(34\) см\(^2\).

Точка \(M\) делит \(AC\) в отношении \(3:2\), а точка \(K\) делит \(BM\) в отношении \(4:1\).

Поскольку прямая \(AK\) проходит через вершину \(A\) и точку \(K\), а \(K\) лежит на медиане \(BM\), она делит треугольник \(ABC\) на два равных по площади треугольника.

Следовательно, площадь \(\triangle ABP\) равна \(34\) см\(^2\).

1. Пусть площадь треугольника \(ABC\) равна \(34\) см\(^{2}\).

2. Точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(AM:MC = 3:2\). Тогда длина \(AM = \frac{3}{5}AC\), а \(MC = \frac{2}{5}AC\).

3. Рассмотрим площади треугольников \(ABM\) и \(MBC\). Площадь \(ABM\) равна \(\frac{3}{5}\) площади \(ABC\), то есть \(S_{ABM} = \frac{3}{5} \times 34 = 20.4\) см\(^{2}\). Площадь \(MBC = \frac{2}{5} \times 34 = 13.6\) см\(^{2}\).

4. Точка \(K\) делит отрезок \(BM\) в отношении \(BK:KM = 4:1\). Пусть \(BK = \frac{4}{5}BM\), \(KM = \frac{1}{5}BM\).

5. Точка \(K\) лежит на медиане \(BM\) треугольника \(ABM\), и отношение деления определяет подобие треугольников.

6. Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Требуется найти площадь треугольника \(ABP\).

7. По построению, точки деления и пересечения выбраны так, что прямая \(AK\) проходит через вершину \(A\) и точку \(K\), делящую медиану \(BM\) в отношении \(4:1\).

8. В результате построения треугольник \(ABP\) совпадает с исходным треугольником \(ABC\) по площади.

9. Таким образом, площадь треугольника \(ABP\) равна \(34\) см\(^{2}\).

10. Ответ: \(34\) см\(^{2}\).