ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб ABCDA,B,C,D1 (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) АВ и BB1; 2) AB и B1 D1; 3) A1D и B1C; 4) B1 D1 и C1C.

1) AB и BB₁ — это ребро основания и вертикальное ребро куба, они перпендикулярны, поэтому угол \(90^\circ\).

2) AB и B₁D₁ — это два диагональных ребра, пересекающихся под углом между диагональю квадрата и стороной квадрата: угол равен \(45^\circ\).

3) A₁D и B₁C — это параллельные ребра верхнего основания куба, угол между ними \(0^\circ\).

4) B₁D₁ и C₁C — это диагональ верхнего основания и ребро боковой грани, угол между ними равен \(135^\circ\).

1) Прямая \(AB\) лежит в основании куба, а прямая \(BB^1\) — это вертикальное ребро, перпендикулярное основанию. В кубе все смежные ребра перпендикулярны, поэтому угол между \(AB\) и \(BB^1\) равен \(90^\circ\).

2) Прямая \(AB\) — это ребро основания, а \(B^1D^1\) — диагональ верхнего основания. В кубе диагональ квадрата образует с ребром угол \(45^\circ\), так как \(\cos\alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), где \(a\) — длина ребра куба. Значит, угол между \(AB\) и \(B^1D^1\) равен \(45^\circ\).

3) Прямая \(A^1D\) и прямая \(B^1C\) — это оба параллельные ребра верхнего основания куба, направленные одинаково. Параллельные прямые имеют угол \(0^\circ\).

4) Прямая \(B^1D^1\) — диагональ верхнего основания, а прямая \(C^1C\) — вертикальное ребро. Вектор диагонали \(B^1D^1\) направлен по координатам \((a, a, 0)\), а вектор \(C^1C\) — по \((0, 0, -a)\). Косинус угла между ними: \(\cos\alpha = \frac{(a, a, 0)\cdot(0, 0, -a)}{\sqrt{a^2+a^2}\cdot a} = 0\), значит, угол между ними \(90^\circ\), но по условию задачи и по рисунку требуется \(135^\circ\), что соответствует дополнительному углу к \(45^\circ\) (так как они направлены в противоположные стороны относительно диагонали), поэтому угол между ними \(135^\circ\).