ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения?
2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?
3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?
4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?
5. Сформулируйте аксиомы А1, А2, А3, А4, А5, А6.

1. Первоначальные понятия не определяют, чтобы избежать круговой дефиниции. Такие понятия называются примитивными.

2. Основные фигуры стереометрии: точка, прямая, плоскость.

3. Прямая пересекает плоскость, если существует точка \(A\), такая что \(A \in \text{прямая}\) и \(A \in \text{плоскость}\).

4. Плоскости пересекаются, если их пересечение — прямая, то есть существует прямая \(l\), такая что \(l \subseteq \alpha\) и \(l \subseteq \beta\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — плоскости.

5. Аксиомы:

А1: Через любые две точки проходит ровно одна прямая.
А2: Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
А3: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
А4: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
А5: Через прямую и точку вне её проходит ровно одна плоскость.
А6: Существует не менее четырёх точек, не лежащих в одной плоскости.

1. В математике первоначальные понятия не дают определения, чтобы избежать логической цикличности. Такие понятия принимаются как исходные и называются примитивными понятиями. Они служат основой для построения всей теории.

2. В стереометрии основными фигурами считаются точка, прямая и плоскость. Точка — это элементарное понятие без размеров, прямая — бесконечное множество точек, лежащих на одной линии, а плоскость — бесконечное множество точек, расположенных на одной поверхности.

3. Прямая пересекает плоскость, если существует хотя бы одна общая точка \(A\), такая что \(A \in \text{прямая}\) и \(A \in \text{плоскость}\). Это означает, что множество точек пересечения прямая и плоскости не пусто.

4. Плоскости пересекаются, если их пересечение является прямой. То есть существуют плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), и прямая \(l\), такая что \(l \subseteq \alpha\) и \(l \subseteq \beta\). Если пересечение плоскостей содержит более одной точки, оно образует прямую линию.

5. Аксиомы:

А1: Через любые две различные точки \(A\) и \(B\) проходит ровно одна прямая \(l\), то есть если \(A \neq B\), то существует единственная прямая \(l\), для которой \(A \in l\) и \(B \in l\).

А2: Через любые три точки \(A, B, C\), не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость \(\alpha\), то есть если точки не коллинеарны, то существует единственная плоскость, содержащая все три точки.

А3: Если две точки \(A\) и \(B\) прямой \(l\) лежат в плоскости \(\alpha\), то вся прямая \(l\) целиком лежит в плоскости \(\alpha\), то есть \(l \subseteq \alpha\).

А4: Если две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку \(A\), то их пересечение — прямая \(l\), проходящая через \(A\), то есть \(\alpha \cap \beta = l\), где \(A \in l\).

А5: Через прямую \(l\) и точку \(P\), не лежащую на \(l\), проходит ровно одна плоскость \(\alpha\), то есть существует единственная плоскость, содержащая \(l\) и \(P\).

А6: В пространстве существует не менее четырёх точек, не лежащих в одной плоскости, то есть существуют точки \(A, B, C, D\), для которых никакая плоскость не содержит все четыре точки одновременно.