ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. В каком случае говорят, что фигура \(F_1\) является ортогональной проекцией фигуры \(F\)?
2. Опишите, какой отрезок называют: 1) перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость; 2) наклонной, проведённой из точки к плоскости.
3. Сформулируйте теорему о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки.
4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?
5. Что называют расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости?
6. Что называют расстоянием между двумя параллельными плоскостями?
7. Что называют расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?
8. Что называют общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых?

1. Фигура \(F_1\) является ортогональной проекцией фигуры \(F\), если каждая точка \(F\) проецируется на плоскость по перпендикуляру, и множество таких проекций образует \(F_1\).

2. 1) Перпендикуляр — отрезок из точки к плоскости, перпендикулярный плоскости.
2) Наклонная — отрезок из точки к плоскости, не перпендикулярный плоскости.

3. Из точки вне плоскости опущен единственный перпендикуляр. Длина любой наклонной больше длины перпендикуляра. Наклонные равны, если основания лежат на окружности с центром в основании перпендикуляра.

4. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

5. Расстояние от прямой до параллельной плоскости — длина перпендикуляра из любой точки прямой на плоскость.

6. Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра от одной плоскости к другой.

7. Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра, проведённого к ним.

8. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых — отрезок, перпендикулярный обеим прямым и соединяющий их.

1. Говорят, что фигура \(F_1\) является ортогональной проекцией фигуры \(F\) на плоскость, если для каждой точки \(M\) фигуры \(F\) существует точка \(M_1\) на плоскости, такая что отрезок \(MM_1\) перпендикулярен плоскости, и множество всех таких точек \(M_1\) образует фигуру \(F_1\). Проекция сохраняет взаимное расположение точек по направлению перпендикуляров к плоскости.

2. 1) Перпендикуляром, опущенным из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\), называют отрезок \(AB\), где \(B\) — точка на плоскости \(\alpha\), такой что \(AB \perp \alpha\).
2) Наклонной, проведённой из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\), называют любой отрезок \(AC\), где \(C\) — точка на плоскости \(\alpha\), и \(AC\) не перпендикулярен плоскости.

3. Теорема: Из точки \(A\), не лежащей на плоскости \(\alpha\), можно опустить единственный перпендикуляр \(AB\) на плоскость \(\alpha\). Для любой наклонной \(AC\) к плоскости выполняется неравенство \(AC > AB\). Если две наклонные \(AC\) и \(AD\) равны, то основания \(C\) и \(D\) лежат на окружности с центром в точке \(B\) — основании перпендикуляра.

4. Расстоянием от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) называют длину перпендикуляра \(AB\), опущенного из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\), то есть \(d = AB\).

5. Расстоянием от прямой \(l\) до параллельной ей плоскости \(\alpha\) называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки \(M\) прямой \(l\) на плоскость \(\alpha\). Это расстояние одинаково для всех точек прямой, так как \(l \parallel \alpha\).

6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) называют длину перпендикуляра, проведённого от любой точки плоскости \(\alpha\) к плоскости \(\beta\). Обозначается как \(d(\alpha, \beta)\).

7. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми \(l_1\) и \(l_2\) называют длину общего перпендикуляра \(MN\), где точки \(M \in l_1\), \(N \in l_2\), и отрезок \(MN\) перпендикулярен обеим прямым: \(MN \perp l_1\) и \(MN \perp l_2\).

8. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых \(l_1\) и \(l_2\) называют отрезок \(MN\), который соединяет точки \(M \in l_1\) и \(N \in l_2\), при этом \(MN\) перпендикулярен обеим прямым: \(MN \perp l_1\) и \(MN \perp l_2\). Этот отрезок является кратчайшим расстоянием между прямыми.