ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах:

Если из точки \(A\), не лежащей в плоскости \(\alpha\), опущен перпендикуляр \(AB\) на плоскость \(\alpha\), и в плоскости \(\alpha\) проведена прямая \(BC\), перпендикулярная к отрезку \(AB\), то наклонная \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\).

Объяснение: перпендикуляр \(AB\) является высотой из точки \(A\) на плоскость, а прямая \(BC\), лежащая в плоскости и перпендикулярная \(AB\), образует с наклонной \(AC\) прямой угол. Это доказывает взаимную перпендикулярность наклонной и прямой в плоскости.

1. Пусть дана плоскость \(\alpha\) и точка \(A\), не лежащая в плоскости \(\alpha\). Из точки \(A\) опущен перпендикуляр \(AB\) на плоскость \(\alpha\), то есть \(AB \perp \alpha\), а точка \(B\) принадлежит плоскости \(\alpha\).

2. В плоскости \(\alpha\) проведена прямая \(BC\), которая перпендикулярна отрезку \(AB\), то есть \(BC \perp AB\), при этом точка \(C\) лежит на прямой \(BC\).

3. Рассмотрим наклонную \(AC\), соединяющую точку \(A\) с точкой \(C\) на плоскости \(\alpha\). Наклонная \(AC\) лежит вне плоскости \(\alpha\), за исключением точки \(C\).

4. Необходимо доказать, что наклонная \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\), то есть \(AC \perp BC\).

5. Для доказательства рассмотрим треугольник \(ABC\). Из условия \(AB \perp \alpha\), значит \(AB \perp BC\), так как \(BC\) лежит в плоскости \(\alpha\).

6. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

7. В нашем случае \(AB \perp BC\) и \(AB \perp AC\) (так как \(AB\) — перпендикуляр к плоскости, в которой лежит \(AC\)).

8. Следовательно, в треугольнике \(ABC\) угол между \(AC\) и \(BC\) равен \(90^\circ\), то есть \(AC \perp BC\).

9. Таким образом, доказано, что если из точки вне плоскости опущен перпендикуляр на плоскость, а в плоскости проведена прямая, перпендикулярная основанию перпендикуляра, то наклонная, соединяющая точку с точкой на этой прямой, перпендикулярна самой прямой.

10. Итог: теорема о трёх перпендикулярах утверждает, что при данных условиях наклонная \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\).