ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Теорема о трёх перпендикулярах:

Если из точки \(A\), не лежащей в плоскости \(\alpha\), опущен перпендикуляр \(AB\) на плоскость \(\alpha\), и в плоскости \(\alpha\) проведена прямая \(BC\), перпендикулярная к отрезку \(AB\), то наклонная \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\).

Объяснение: перпендикуляр \(AB\) является высотой из точки \(A\) на плоскость, а прямая \(BC\), лежащая в плоскости и перпендикулярная \(AB\), образует с наклонной \(AC\) прямой угол. Это доказывает взаимную перпендикулярность наклонной и прямой в плоскости.

1. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

2. Рассмотрим прямую \( l \), пересекающую плоскость \( \pi \) в точке \( O \). Проведём из точки \( O \) проекцию прямой \( l \) на плоскость \( \pi \), обозначим её как \( l’ \).

3. Проекция \( l’ \) — это отрезок прямой, лежащий в плоскости \( \pi \), который получается путём опускания перпендикуляра из любой точки прямой \( l \) на плоскость \( \pi \).

4. Угол между прямой \( l \) и плоскостью \( \pi \) — это угол между прямой \( l \) и её проекцией \( l’ \), то есть угол при вершине \( O \) между \( l \) и \( l’ \).

5. Обозначим этот угол как \( \alpha \). По определению \( 0 \leq \alpha \leq 90^\circ \).

6. Для вычисления угла \( \alpha \) удобно использовать угол \( \beta \) между прямой \( l \) и нормалью \( \mathbf{n} \) к плоскости \( \pi \).

7. Угол \( \beta \) — это угол между вектором направления прямой \( \mathbf{v} \) и вектором нормали \( \mathbf{n} \).

8. Поскольку проекция прямой на плоскость перпендикулярна нормали, выполняется соотношение \( \alpha = 90^\circ — \beta \).

9. Для вычисления \( \beta \) используется формула косинуса угла между векторами:
\( \cos \beta = \frac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{n}|} \).

10. Итог: угол между прямой и плоскостью равен \( \alpha = 90^\circ — \beta \), где \( \beta \) — угол между прямой и нормалью к плоскости.