ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?
2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

1. Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\). Это означает, что при пересечении плоскостей образуется прямой угол.

2. Признак перпендикулярности плоскостей формулируется так: если в одной плоскости существует прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. То есть, если прямая \(a \subset \alpha\) и \(a \perp \beta\), то \(\alpha \perp \beta\).

3. Свойства перпендикулярных плоскостей:
— Если \(\alpha \perp \beta\), то любая прямая в плоскости \(\alpha\), перпендикулярная линии пересечения плоскостей \(l = \alpha \cap \beta\), будет перпендикулярна плоскости \(\beta\).
— Перпендикулярность плоскостей взаимна: если \(\alpha \perp \beta\), то \(\beta \perp \alpha\).
— Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой \(l\), которая является их линией пересечения.

1. Перпендикулярными называют такие плоскости, между которыми угол равен \(90^\circ\). Это значит, что если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения образует с каждой из них прямой угол. Представьте две листа бумаги, которые соединены по краю и стоят под прямым углом друг к другу — именно так выглядят перпендикулярные плоскости. Геометрически, угол между плоскостями определяется как угол между их нормалями — векторами, перпендикулярными к каждой из плоскостей. Если эти нормали взаимно перпендикулярны, то и плоскости считаются перпендикулярными.

2. Признак перпендикулярности плоскостей выражается через наличие прямой, лежащей в одной плоскости и при этом перпендикулярной другой плоскости. Формально, если существует прямая \(a\), такая что \(a \subset \alpha\) и при этом \(a \perp \beta\), то плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то есть \(\alpha \perp \beta\). Этот признак удобен для проверки перпендикулярности, поскольку достаточно найти одну прямую в первой плоскости, которая перпендикулярна второй плоскости, чтобы утверждать о взаимной перпендикулярности плоскостей. Это связано с тем, что перпендикулярность плоскостей определяется через взаимное расположение их нормалей и пересекающей линии.

3. Свойства перпендикулярных плоскостей раскрывают их взаимосвязь и особенности пересечения. Во-первых, если \(\alpha \perp \beta\), то любая прямая, лежащая в плоскости \(\alpha\) и перпендикулярная линии пересечения плоскостей \(l = \alpha \cap \beta\), будет перпендикулярна плоскости \(\beta\). Это означает, что в плоскости \(\alpha\) можно выбрать бесконечно много таких прямых, которые будут перпендикулярны второй плоскости, что подчеркивает устойчивость перпендикулярности. Во-вторых, перпендикулярность плоскостей взаимна: если \(\alpha \perp \beta\), то обязательно \(\beta \perp \alpha\). Это свойство важно для симметрии отношений в пространстве. В-третьих, перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой \(l\), являющейся линией их пересечения. Эта прямая является общей для обеих плоскостей и служит осью, вокруг которой можно рассматривать взаимное расположение плоскостей и их нормалей.