ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

1. Пусть \(S\) — площадь многоугольника, \(S’\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость, \(\theta\) — угол между нормалью к многоугольнику и нормалью к плоскости.

2. Площадь проекции равна площади исходного многоугольника, умноженной на косинус угла между нормалями: \(S’ = S \cdot |\cos \theta|\).

3. Это следует из того, что проекция площади на плоскость уменьшается пропорционально углу наклона многоугольника к плоскости.

1. Пусть задан многоугольник \(P\) с площадью \(S\). Этот многоугольник лежит в некоторой плоскости с нормалью, обозначим её вектором \(\mathbf{n}\).

2. Рассмотрим плоскость проекции с нормалью \(\mathbf{m}\). Угол между нормалями \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{m}\) обозначим как \(\theta\), то есть \(\cos \theta = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}}{|\mathbf{n}| \cdot |\mathbf{m}|}\).

3. Ортогональная проекция многоугольника \(P\) на плоскость с нормалью \(\mathbf{m}\) — это образ многоугольника при проецировании всех точек перпендикулярно к плоскости проекции.

4. Площадь проекции \(S’\) связана с площадью исходного многоугольника \(S\) через отношение площадей параллелограмма, образованного векторами, определяющими многоугольник, и его проекции.

5. Поскольку площадь многоугольника равна модулю векторного произведения двух векторов, задающих стороны многоугольника, делённому на 2, то при проекции эти векторы проецируются на плоскость.

6. Модуль векторного произведения проекций векторов равен модулю исходного векторного произведения, умноженному на \(|\cos \theta|\), где \(\theta\) — угол между нормалями.

7. Следовательно, площадь проекции \(S’\) равна \(S \cdot |\cos \theta|\).

8. Формула отражает, что при \(\theta = 0^\circ\) (параллельность плоскостей) \(S’ = S\), а при \(\theta = 90^\circ\) (перпендикулярность) \(S’ = 0\).

9. Таким образом, общая формула для площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость:

\(S’ = S \cdot |\cos \theta|\).

10. Это завершает доказательство теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.