ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какой тетраэдр называют ортоцентрическим?
2. Сформулируйте достаточное условие того, что данный тетраэдр является ортоцентрическим.
3. Что называют средней линией тетраэдра?
4. Каким свойством обладают средние линии тетраэдра?
5. Что называют медианой тетраэдра?
6. Каким свойством обладают медианы тетраэдра?
7. Какой тетраэдр называют равногранным?
8. Сформулируйте свойства равногранного тетраэдра.
9. Сформулируйте теорему Менелая для тетраэдра.

1. Ортоцентрический тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре высоты пересекаются в одной точке.

2. Если три высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то четвёртая высота также проходит через эту точку, значит тетраэдр ортоцентрический.

3. Средняя линия тетраэдра — отрезок, соединяющий середины двух несмежных рёбер.

4. Средняя линия параллельна третьему ребру, и её длина равна половине длины этого ребра.

5. Медиана тетраэдра — отрезок от вершины до центра масс противоположного треугольника.

6. Все медианы пересекаются в центре масс, который делит каждую медиану в отношении 3 к 1 от вершины.

7. Равногранный тетраэдр — тетраэдр с четырьмя равными по площади и форме гранями.

8. В равногранном тетраэдре все ребра, исходящие из одной вершины, равны, а грани конгруэнтны.

9. Теорема Менелая для тетраэдра: точки \( A’, B’, C’ \) лежат на одной прямой, если

\(\frac{A’B}{A’C} \cdot \frac{B’C}{B’A} \cdot \frac{C’A}{C’B} = 1\),

где дроби — отношения отрезков на рёбрах.

1. Ортоцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого все четыре высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную грань. Для доказательства ортоцентричности достаточно показать, что три высоты пересекаются в одной точке, тогда четвёртая высота также проходит через эту точку.

2. Достаточное условие ортоцентричности тетраэдра: если три высоты, проведённые из трёх вершин, пересекаются в одной точке, то четвёртая высота тоже проходит через эту точку. Это следует из геометрических свойств перпендикуляров и плоскостей, образующих тетраэдр.

3. Средняя линия тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины двух рёбер, которые не имеют общей вершины (несмежные рёбра). Например, если \(AB\) и \(CD\) — несмежные рёбра, то средняя линия — отрезок между серединами \(M\) и \(N\) этих рёбер.

4. Средняя линия параллельна третьему ребру, которое соединяет вершины рёбер, середины которых соединяет средняя линия. Длина средней линии равна половине длины этого ребра, то есть если средняя линия соединяет середины рёбер \(AB\) и \(CD\), то она параллельна и равна \( \frac{1}{2} EF \), где \(E\) и \(F\) — вершины, не входящие в \(AB\) и \(CD\).

5. Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (центром масс) противоположного треугольного основания. Центроид треугольника — точка пересечения медиан этого треугольника.

6. Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центре масс тетраэдра. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины, то есть если медиана \(AM\), то центр масс \(G\) делит её так, что \(AG : GM = 3 : 1\).

7. Равногранным называют тетраэдр, у которого все четыре грани равны по площади и конгруэнтны (одинаковой формы и размера). Это означает, что все грани — равносторонние треугольники, либо равные друг другу по другим параметрам.

8. Свойства равногранного тетраэдра:
— Все грани конгруэнтны.
— Все ребра, исходящие из одной вершины, равны между собой.
— Углы при вершинах равны.
— Центр масс совпадает с ортоцентром и центроидом.
— Тетраэдр обладает высокой степенью симметрии.

9. Теорема Менелая для тетраэдра формулируется так: если плоскость пересекает три ребра тетраэдра, не сходящиеся в одной вершине, в точках \(A’, B’, C’\), то точки \(A’, B’, C’\) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

\(\frac{A’B}{A’C} \cdot \frac{B’C}{B’A} \cdot \frac{C’A}{C’B} = 1\),

где \(A, B, C\) — вершины тетраэдра, а дроби — отношения длин отрезков на соответствующих рёбрах, образованных точками пересечения.