ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какие плоскости называют параллельными?
2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?
4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

1. Плоскости называют параллельными, если они не пересекаются, то есть \(\alpha \cap \beta = \emptyset\).

2. Признак параллельности двух плоскостей: если \(\alpha \neq \beta\) и \(\alpha \cap \beta = \emptyset\), то \(\alpha \parallel \beta\).

3. Два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях: \(M_1 \subset \alpha_1\), \(M_2 \subset \alpha_2\), и \(\alpha_1 \parallel \alpha_2\).

4. Теоремы о параллельных плоскостях:
— Если \(\alpha \parallel \beta\), прямая \(a \subset \alpha\) и \(a \parallel \beta\), то \(a \parallel \beta\).
— Если \(\alpha \parallel \beta\), любая прямая в \(\alpha\), параллельная прямой в \(\beta\), параллельна \(\beta\).
— Расстояние между параллельными плоскостями одинаково в любых точках.

1. Плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что множество пересечения двух плоскостей пусто, что записывается как \(\alpha \cap \beta = \emptyset\). В пространстве две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются вовсе. Если они не пересекаются, то они расположены так, что никакая точка одной плоскости не принадлежит другой. Такое расположение и называется параллельностью плоскостей. Параллельные плоскости можно представить как бесконечные листы бумаги, которые никогда не соприкасаются.

2. Признак параллельности двух плоскостей формулируется следующим образом: если две плоскости различны, то есть \(\alpha \neq \beta\), и при этом они не пересекаются, то есть \(\alpha \cap \beta = \emptyset\), то эти плоскости параллельны, что записывается как \(\alpha \parallel \beta\). Этот признак основан на том, что если бы плоскости пересекались, то их пересечение было бы прямой линией. Отсутствие пересечения исключает такую возможность, следовательно, плоскости параллельны. Это ключевое условие помогает определить параллельность без необходимости строить дополнительные линии или измерять углы.

3. Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в плоскостях, которые параллельны друг другу. Пусть многоугольник \(M_1\) лежит в плоскости \(\alpha_1\), а многоугольник \(M_2\) лежит в плоскости \(\alpha_2\). Если \(\alpha_1 \parallel \alpha_2\), то говорят, что многоугольники \(M_1\) и \(M_2\) параллельны. Это означает, что все точки одного многоугольника находятся в плоскости, параллельной плоскости второго многоугольника. Такая параллельность важна при изучении пространственных фигур и их взаимного расположения.

4. Свойства параллельных плоскостей выражаются несколькими важными теоремами. Первая теорема утверждает, что если плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(\beta\), и прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\) и параллельна плоскости \(\beta\), то прямая \(a\) также параллельна плоскости \(\beta\). Это означает, что прямая не пересекает плоскость \(\beta\) и находится в направлении, не пересекающемся с ней.

Вторая теорема говорит, что если две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то любая прямая, лежащая в плоскости \(\alpha\) и параллельная некоторой прямой, лежащей в плоскости \(\beta\), будет параллельна плоскости \(\beta\). Это расширяет понятие параллельности на отдельные прямые внутри параллельных плоскостей, показывая, что параллельность сохраняется и на уровне линий.

Третья теорема утверждает, что расстояние между двумя параллельными плоскостями одинаково в любых точках. Это означает, что если измерить перпендикулярное расстояние от любой точки одной плоскости до другой, результат будет одинаковым. Это свойство важно для вычислений и построений в пространственной геометрии, так как фиксирует неизменность расстояния между плоскостями.