ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Вопросы После Параграфа 7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\).
2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом.
3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией.
4. Какое преобразование фигуры называют движением?
5. Какие фигуры называют равными?
6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием.
7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.

1. Фигура \(F_1\) получена из фигуры \(F\), если существует преобразование, переводящее каждую точку \(F\) в точку \(F_1\).

2. Параллельный перенос — сдвиг всех точек фигуры на один и тот же вектор.

3. Центральная симметрия относительно точки \(O\) — каждому \(A\) ставится в соответствие \(A’\), где \(O\) — середина отрезка \(AA’\).

4. Движение — преобразование, сохраняющее расстояния между точками фигуры.

5. Фигуры равны, если одна получается из другой движением.

6. Параллельное проектирование — проекция точек фигуры по параллельным лучам на другую плоскость.

7. Теорема 1: Параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых.

Теорема 2: Параллельное проектирование сохраняет отношение отрезков на параллельных прямых.

1. Говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\), если существует отображение, которое каждой точке \(M\) фигуры \(F\) ставит в соответствие точку \(M_1\) фигуры \(F_1\). При этом все точки \(F\) переходят в точки \(F_1\) по этому правилу, то есть \(F_1 = \{M_1 \mid M \in F\}\).

2. Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка \(M\) фигуры перемещается на один и тот же вектор \(\vec{v}\). Для любой точки \(M\) новой фигуры \(M_1 = M + \vec{v}\). Это смещение сохраняет форму и размеры фигуры, меняя только её положение.

3. Центральная симметрия относительно точки \(O\) — преобразование, при котором каждой точке \(A\) фигуры ставится в соответствие точка \(A’\), такая что точка \(O\) является серединой отрезка \(AA’\). То есть \(O\) лежит на отрезке \(AA’\) и \(OA = OA’\), причем направления векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OA’}\) противоположны.

4. Движением называют преобразование фигуры, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Формально, для любых точек \(M\) и \(N\) фигуры выполняется равенство \(MN = M_1N_1\), где \(M_1\) и \(N_1\) — образы точек \(M\) и \(N\) после преобразования.

5. Две фигуры называют равными, если существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Это означает, что фигуры совпадают по форме и размерам, возможно, сдвинуты, повернуты или отражены, но не искажены.

6. Параллельное проектирование — преобразование, при котором каждой точке \(M\) фигуры ставится в соответствие точка \(M_1\), являющаяся проекцией \(M\) на другую плоскость или фигуру по направлению параллельных проекционных лучей. Все проекционные лучи параллельны одному направлению, что сохраняет параллельность прямых, но не обязательно сохраняет длины и углы.

7. Теорема 1: При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых. Если две прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то их проекции \(a_1\) и \(b_1\) также параллельны.

Теорема 2: При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков на параллельных прямых. Если на двух параллельных прямых взяты отрезки \(AB\) и \(CD\), то отношение длин \(\frac{AB}{CD}\) равно отношению длин их проекций \(\frac{A_1B_1}{C_1D_1}\).