ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллельны оси аппликат (рис. 1.7), \(AD = 3\), \(AB = 5\), \(AA_1 = 8\). Начало координат, точка \(O\), является серединой ребра \(DD_1\). Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Начало координат \(O\) выбрано в середине ребра \(DD_1\), значит координаты \(D\) и \(D_1\) симметричны относительно оси \(z\). Длина ребра \(AA_1 = 8\) даёт координаты \(D(3;5;-4)\) и \(D_1(3;5;4)\).

Ребра основания \(AD = 3\) и \(AB = 5\) позволяют определить остальные вершины, сдвигая точку \(D\) и \(D_1\) на соответствующие векторы. Так, \(C(5;3;0)\), \(C_1(0;3;4)\), \(A(5;3;0)\), \(A_1(5;0;4)\).

Точки \(B\) и \(B_1\) расположены на пересечении рёбер, их координаты: \(B(5;3;-4)\), \(B_1(5;3;4)\). Таким образом, все вершины параллелепипеда найдены.

Начало координат \(O\) — середина ребра \(DD_1\), значит точки \(D\) и \(D_1\) симметричны относительно \(O(0;0;0)\) по оси \(z\). Длина ребра \(AA_1 = 8\) даёт половину высоты 4, поэтому координаты вершин \(D\) и \(D_1\) отличаются только знаком \(z\): \(D(3;5;-4)\), \(D_1(3;5;4)\).

Ребро \(AD = 3\) и ребро \(AB = 5\) задают размеры основания параллелепипеда в плоскости \(xy\). Сдвигаясь от точки \(D\) на вектор \(AB\), получаем точку \(C(5;3;0)\). Аналогично, сдвиг от \(D_1\) с учётом высоты даёт \(C_1(0;3;4)\). Точки \(A\) и \(A_1\) находятся, учитывая длину ребра \(AD\) и высоту \(AA_1\): \(A(5;3;0)\), \(A_1(5;0;4)\).

Точки \(B\) и \(B_1\) расположены на пересечении соответствующих рёбер, что даёт \(B(5;3;-4)\), \(B_1(5;3;4)\). Таким образом, координаты всех вершин параллелепипеда:

\(D(3;5;-4)\), \(D_1(3;5;4)\),
\(C(5;3;0)\), \(C_1(0;3;4)\),
\(A(5;3;0)\), \(A_1(5;0;4)\),
\(B(5;3;-4)\), \(B_1(5;3;4)\).