ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние между точками А и В, если:
1) \( A (3; -4; 2), B (5; -6; 1) \);
2) \( A (-2; 3; 1), B (-3; 2; 0) \).

Расстояние между точками вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\).

Для точек \(A(3; -4; 2)\) и \(B(5; -6; 1)\):

\(d = \sqrt{(5 — 3)^2 + (-6 + 4)^2 + (1 — 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}=\)
\( = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

Для точек \(A(-2; 3; 1)\) и \(B(-3; 2; 0)\):

\(d = \sqrt{(-3 + 2)^2 + (2 — 3)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} =\)
\(= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\), где \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) — координаты этих точек. Эта формула является обобщением теоремы Пифагора на трехмерное пространство и позволяет найти длину отрезка, соединяющего две точки.

Для первой пары точек \(A(3; -4; 2)\) и \(B(5; -6; 1)\) вычислим разности координат: \(x_2 — x_1 = 5 — 3 = 2\), \(y_2 — y_1 = -6 — (-4) = -2\), \(z_2 — z_1 = 1 — 2 = -1\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \(d = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9}\). Корень из 9 равен 3, значит расстояние между этими точками равно 3.

Для второй пары точек \(A(-2; 3; 1)\) и \(B(-3; 2; 0)\) аналогично вычисляем разности координат: \(x_2 — x_1 = -3 — (-2) = -1\), \(y_2 — y_1 = 2 — 3 = -1\), \(z_2 — z_1 = 0 — 1 = -1\). Подставляем в формулу: \(d = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\). Таким образом, расстояние между этими точками равно корню из 3.