ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A (3; -2; 6) \) и \( C (-1; 2; -4) \) являются вершинами квадрата \( ABCD \). Найдите площадь этого квадрата.

Длина диагонали \( AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (2+2)^2 + (-4-6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 100} = \sqrt{132} =\)
\(= 2\sqrt{33} \).

Площадь квадрата \( S = \frac{AC^2}{2} = \frac{(2\sqrt{33})^2}{2} = \frac{4 \cdot 33}{2} = 66 \).

Для начала вычислим длину диагонали квадрата, зная координаты его противоположных вершин \( A(3; -2; 6) \) и \( C(-1; 2; -4) \). Расстояние между двумя точками в пространстве находится по формуле \( AC = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 + (z_C — z_A)^2} \). Подставляя координаты, получаем \( AC = \sqrt{(-1 — 3)^2 + (2 + 2)^2 + (-4 — 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-10)^2} =\)
\(= \sqrt{16 + 16 + 100} = \sqrt{132} \). Упростив корень, получаем \( AC = 2\sqrt{33} \).

Далее, используя свойство квадрата, что диагональ равна стороне, умноженной на \( \sqrt{2} \), находим длину стороны квадрата \( a \). Формула для стороны через диагональ выглядит как \( a = \frac{AC}{\sqrt{2}} \). Подставляем найденное значение диагонали: \( a = \frac{2\sqrt{33}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{33}{2}} \). Эта формула показывает, что длина стороны квадрата зависит от длины диагонали и коэффициента \( \sqrt{2} \), который отражает геометрические свойства квадрата.

Наконец, площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^2 \). Подставляя выражение для стороны, получаем \( S = \left(\frac{AC}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{AC^2}{2} \). Подставляя значение диагонали \( AC^2 = 132 \), получаем \( S = \frac{132}{2} = 66 \). Таким образом, площадь квадрата равна 66, что подтверждает правильность вычислений и соответствует условию задачи.