ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно точки \( M \), причём \( B (1; 3; -5), M (9; 0; -4) \). Найдите координаты точки \( A \).

Точка \(M\) — середина отрезка \(AB\), значит \(M_x = \frac{x + 1}{2}\), \(M_y = \frac{y + 3}{2}\), \(M_z = \frac{z — 5}{2}\).

Подставляем координаты \(M(9; 0; -4)\):

\(9 = \frac{x + 1}{2} \Rightarrow x + 1 = 18 \Rightarrow x = 17\)

\(0 = \frac{y + 3}{2} \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3\)

\(-4 = \frac{z — 5}{2} \Rightarrow z — 5 = -8 \Rightarrow z = -3\)

Ответ: \(A(17; -3; -3)\)

Точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\), что означает, что координаты точки \(M\) — это средние арифметические соответствующих координат точек \(A\) и \(B\). Если обозначить координаты точки \(A\) как \( (x; y; z) \), а координаты точки \(B\) известны и равны \( (1; 3; -5) \), то по определению середины отрезка имеем следующие уравнения: \( M_x = \frac{x + 1}{2} \), \( M_y = \frac{y + 3}{2} \), \( M_z = \frac{z — 5}{2} \). Здесь \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\) — координаты точки \(M\), которые даны и равны \(9\), \(0\) и \(-4\) соответственно.

Подставляя известные координаты точки \(M\) в уравнения, получаем три отдельных уравнения для каждой координаты. Для первой координаты \(x\) уравнение будет \(9 = \frac{x + 1}{2}\). Умножая обе части уравнения на 2, получаем \(18 = x + 1\), откуда \(x = 17\). Аналогично для второй координаты \(y\) уравнение \(0 = \frac{y + 3}{2}\) умножаем на 2, получаем \(0 = y + 3\), значит \(y = -3\). Для третьей координаты \(z\) уравнение \(-4 = \frac{z — 5}{2}\) умножаем на 2, получаем \(-8 = z — 5\), откуда \(z = -3\).

Таким образом, мы нашли все координаты точки \(A\) по формуле середины отрезка, используя известные координаты точки \(B\) и точки \(M\). Итоговые координаты точки \(A\) равны \( (17; -3; -3) \), что соответствует условию задачи и совпадает с решением, представленным на фото.