ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Расстояние между точками \( A (1; y; 3) \) и \( B (3; -6; 5) \) равно \( 2\sqrt{6} \). Найдите значение \( y \).

Расстояние между точками \( A(1, y, 3) \) и \( B(3, -6, 5) \) равно \( 2\sqrt{6} \), значит
\( \sqrt{(3-1)^2 + (-6 — y)^2 + (5 — 3)^2} = 2\sqrt{6} \).

Вычисляем:
\( \sqrt{4 + (y+6)^2 + 4} = 2\sqrt{6} \),
\( \sqrt{(y+6)^2 + 8} = 2\sqrt{6} \).

Возводим в квадрат:
\( (y+6)^2 + 8 = 24 \),
\( (y+6)^2 = 16 \).

Решаем уравнение:
\( y + 6 = \pm 4 \),
\( y_1 = -2 \),
\( y_2 = -10 \).

Для нахождения значения \( y \) используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве. Пусть даны точки \( A(1, y, 3) \) и \( B(3, -6, 5) \). Расстояние между ними обозначено как \( |AB| \) и равно \( 2\sqrt{6} \). Формула для расстояния в пространстве выглядит так: \( |AB| = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \). Подставим координаты точек: \( \sqrt{(3 — 1)^2 + (-6 — y)^2 + (5 — 3)^2} = 2\sqrt{6} \).

Далее вычислим квадраты разностей по каждой координате. Разность по оси \( x \) равна \( 3 — 1 = 2 \), по оси \( y \) — \( -6 — y \), по оси \( z \) — \( 5 — 3 = 2 \). Таким образом, под корнем получается выражение \( 2^2 + (-6 — y)^2 + 2^2 \), что равно \( 4 + (y + 6)^2 + 4 \). Сложим известные числа: \( 4 + 4 = 8 \), значит под корнем стоит \( (y + 6)^2 + 8 \). Приравниваем это к квадрату длины отрезка: \( \sqrt{(y + 6)^2 + 8} = 2\sqrt{6} \).

Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат: \( (y + 6)^2 + 8 = (2\sqrt{6})^2 \). Справа квадрат произведения равен произведению квадратов, то есть \( 2^2 \times (\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24 \). Получаем уравнение \( (y + 6)^2 + 8 = 24 \). Вычитаем 8 из обеих частей: \( (y + 6)^2 = 16 \). Теперь решаем простое квадратное уравнение: \( y + 6 = \pm 4 \). Отсюда два варианта: \( y = -6 + 4 = -2 \) и \( y = -6 — 4 = -10 \). Значит, искомые значения \( y \) равны \( -2 \) или \( -10 \).