ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \( A \) принадлежит оси абсцисс. Расстояние от точки \( A \) до точки \( C (1; -1; -2) \) равно 3. Найдите координаты точки \( A \).

Точка \( A \) на оси абсцисс, значит \( A(x;0;0) \). Расстояние до \( C(1;-1;-2) \) равно 3, значит выполняется равенство \( \sqrt{(x-1)^2 + 1^2 + 2^2} = 3 \).

Возводим в квадрат: \( (x-1)^2 + 1 + 4 = 9 \), отсюда \( (x-1)^2 = 4 \).

Решаем уравнение: \( x-1 = \pm 2 \), значит \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 3 \).

Координаты точки \( A \): \( (-1;0;0) \) и \( (3;0;0) \).

Точка \( A \) принадлежит оси абсцисс, значит её координаты можно записать как \( A(x; 0; 0) \), где \( x \) — неизвестное число. Это связано с тем, что на оси абсцисс координаты по осям \( y \) и \( z \) всегда равны нулю. Дана точка \( C(1; -1; -2) \), и известно, что расстояние между точками \( A \) и \( C \) равно 3.

Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \). Подставим координаты точек \( A(x; 0; 0) \) и \( C(1; -1; -2) \) в эту формулу: \( \sqrt{(x — 1)^2 + (0 — (-1))^2 + (0 — (-2))^2} = 3 \). Упростим выражение под корнем: \( \sqrt{(x — 1)^2 + 1^2 + 2^2} = 3 \), то есть \( \sqrt{(x — 1)^2 + 1 + 4} = 3 \).

Далее возводим обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (x — 1)^2 + 5 = 9 \). Вычитаем 5 из обеих частей: \( (x — 1)^2 = 4 \). Извлекаем квадратный корень: \( x — 1 = \pm 2 \). Получаем два значения для \( x \): \( x = 1 — 2 = -1 \) и \( x = 1 + 2 = 3 \). Следовательно, координаты точки \( A \) могут быть либо \( (-1; 0; 0) \), либо \( (3; 0; 0) \).