ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек \( A (2; 3; 1) \) и \( B (4; 1; -5) \).

Точка \(M\) принадлежит оси ординат, значит \(M = (0, y, 0)\).

Расстояния до точек \(A(2, 3, 1)\) и \(B(4, 1, -5)\) равны:

\(\sqrt{(0-2)^2 + (y-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(0-4)^2 + (y-1)^2 + (0+5)^2}\)

Раскрываем и упрощаем:

\(4 + (y-3)^2 + 1 = 16 + (y-1)^2 + 25\)

\(5 + y^2 — 6y + 9 = 41 + y^2 — 2y + 1\)

Сокращаем \(y^2\), переносим:

\(-6y + 14 = -2y + 42\)

\(-4y = 28\)

\(y = -7\)

Ответ: \(M = (0, -7, 0)\)

Точка \(M\) лежит на оси ординат, значит её координаты имеют вид \(M = (0, y, 0)\), где \(y\) — неизвестное число. Нам нужно найти такое значение \(y\), при котором расстояния от точки \(M\) до точек \(A(2, 3, 1)\) и \(B(4, 1, -5)\) будут равны.

Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\). Для точки \(M\) и \(A\) это будет \(\sqrt{(0 — 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 1)^2}\). Раскроем скобки и посчитаем: \((0 — 2)^2 = 4\), \((y — 3)^2 = y^2 — 6y + 9\), \((0 — 1)^2 = 1\). Сложив, получаем \(\sqrt{4 + y^2 — 6y + 9 + 1} = \sqrt{y^2 — 6y + 14}\).

Аналогично для точки \(M\) и \(B\) расстояние равно \(\sqrt{(0 — 4)^2 + (y — 1)^2 + (0 + 5)^2}\). Вычислим каждый квадрат: \((0 — 4)^2 = 16\), \((y — 1)^2 = y^2 — 2y + 1\), \((0 + 5)^2 = 25\). Сложим: \(\sqrt{16 + y^2 — 2y + 1 + 25} = \sqrt{y^2 — 2y + 42}\).

По условию задачи расстояния равны, значит \(\sqrt{y^2 — 6y + 14} = \sqrt{y^2 — 2y + 42}\). Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: \(y^2 — 6y + 14 = y^2 — 2y + 42\). Сократим \(y^2\) с обеих сторон: \(-6y + 14 = -2y + 42\). Перенесём все члены в одну сторону: \(-6y + 14 +2y — 42 = 0\), что упрощается до \(-4y — 28 = 0\). Решая уравнение, получаем \(-4y = 28\), откуда \(y = -7\).

Таким образом, координаты точки \(M\), при которых расстояния до \(A\) и \(B\) равны, равны \(M = (0, -7, 0)\).