ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки \( A (-1; 2; 4) \) и плоскости \( yz \).

Точка \( M \) лежит на оси абсцисс, значит \( M = (x; 0; 0) \).

Расстояние от \( M \) до \( A(-1; 2; 4) \) равно \( \sqrt{(x+1)^2 + 20} \).

Расстояние от \( M \) до плоскости \( yz \) равно \( |x| \).

По условию \( \sqrt{(x+1)^2 + 20} = |x| \).

Возводим в квадрат: \( (x+1)^2 + 20 = x^2 \).

Раскрываем скобки: \( x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2 \).

Сокращаем \( x^2 \): \( 2x + 21 = 0 \).

Решаем: \( x = -\frac{21}{2} = -10.5 \).

Ответ: \( M = (-10.5; 0; 0) \).

Точка \( M \) находится на оси абсцисс, следовательно, ее координаты имеют вид \( (x; 0; 0) \). Это значит, что \( y \) и \( z \) равны нулю, а значение \( x \) нам нужно определить. Расстояние от точки \( M \) до точки \( A(-1; 2; 4) \) находится по формуле расстояния между точками в пространстве, которая выглядит как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат. В нашем случае это будет \( \sqrt{(x — (-1))^2 + (0 — 2)^2 + (0 — 4)^2} \), что упрощается до \( \sqrt{(x + 1)^2 + 4 + 16} \) или \( \sqrt{(x + 1)^2 + 20} \).

Расстояние от точки \( M \) до плоскости \( yz \) определяется как кратчайшее расстояние от точки до этой плоскости. Плоскость \( yz \) задана уравнением \( x = 0 \), поэтому расстояние от точки \( M(x; 0; 0) \) до плоскости равно абсолютному значению координаты \( x \), то есть \( |x| \). По условию задачи, расстояния от точки \( M \) до точки \( A \) и до плоскости \( yz \) должны быть равны, следовательно, уравниваем их: \( \sqrt{(x + 1)^2 + 20} = |x| \).

Чтобы избавиться от модуля и корня, возводим обе части уравнения в квадрат, получая \( (x + 1)^2 + 20 = x^2 \). Раскрываем скобки: \( x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2 \). Сокращая \( x^2 \) с обеих сторон, получаем линейное уравнение \( 2x + 21 = 0 \). Решая его, находим \( x = -\frac{21}{2} \), что равно \( -10.5 \). Таким образом, точка \( M \), которая равноудалена от точки \( A \) и плоскости \( yz \), имеет координаты \( (-10.5; 0; 0) \).