ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от начала координат и точки \( M (3; -6; 9) \).

Точка \( M_1 \) лежит на оси аппликат, значит \( M_1 = (0; 0; z) \).

Равенство расстояний: \( \sqrt{(0-3)^2 + (0+6)^2 + (z-9)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} \).

Упрощаем: \( \sqrt{9 + 36 + (z-9)^2} = |z| \).

Квадрат равенства: \( 45 + (z-9)^2 = z^2 \).

Раскрываем скобки: \( 45 + z^2 — 18z + 81 = z^2 \).

Сокращаем: \( 126 — 18z = 0 \).

Решаем: \( 18z = 126 \), \( z = 7 \).

Ответ: \( M_1 = (0; 0; 7) \).

Точка \( M_1 \) находится на оси аппликат, следовательно её координаты имеют вид \( (0; 0; z) \), где \( z \) — неизвестное число. По условию, расстояние от точки \( M_1 \) до начала координат \( O(0; 0; 0) \) равно расстоянию от \( M_1 \) до точки \( M(3; -6; 9) \). Это значит, что мы можем записать равенство длин отрезков \( OM_1 \) и \( MM_1 \).

Расстояние от \( M_1 \) до начала координат выражается формулой длины вектора и равно \( \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} = |z| \). Расстояние от \( M_1 \) до точки \( M \) вычисляется по формуле расстояния между точками в пространстве: \( \sqrt{(0 — 3)^2 + (0 + 6)^2 + (z — 9)^2} \). Упростим выражение под корнем: \( (0 — 3)^2 = 9 \), \( (0 + 6)^2 = 36 \), значит расстояние равно \( \sqrt{9 + 36 + (z — 9)^2} = \sqrt{45 + (z — 9)^2} \).

Приравниваем расстояния: \( |z| = \sqrt{45 + (z — 9)^2} \). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля: \( z^2 = 45 + (z — 9)^2 \). Раскрываем скобки во второй части: \( (z — 9)^2 = z^2 — 18z + 81 \). Подставляем: \( z^2 = 45 + z^2 — 18z + 81 \). Сокращаем \( z^2 \) с обеих сторон: \( 0 = 126 — 18z \). Переносим слагаемые: \( 18z = 126 \). Делим обе части на 18: \( z = 7 \). Таким образом, координаты точки \( M_1 \) равны \( (0; 0; 7) \).