ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На отрезке \( AB \) отметили точки \( C \) и \( D \), делящие его на три равные части, точка \( C \) лежит между точками \( A \) и \( D \). Найдите координаты точки \( B \), если \( A (-14; 5; -8), D (7; -7; 2) \).

Точка \( C \) — середина отрезка \( AD \), значит её координаты \( C\left(\frac{-14+7}{2}; \frac{5-7}{2}; \frac{-8+2}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}; -1; -3\right) \).

Точка \( D \) — середина отрезка \( CB \), где \( B(x; y; z) \). Тогда выполняются уравнения:
\(\frac{-3.5+x}{2} = 7\), \(\frac{-1+y}{2} = -7\), \(\frac{-3+z}{2} = 2\).

Решая их, получаем:
\(x = 17.5\), \(y = -13\), \(z = 7\).

Координаты точки \( B \) равны \( (17.5; -13; 7) \).

Точка \( C \) является серединой отрезка \( AD \), то есть она делит отрезок \( AD \) на две равные части. Чтобы найти координаты точки \( C \), нужно взять среднее арифметическое соответствующих координат точек \( A \) и \( D \). Для координаты \( x \) это будет \( \frac{-14 + 7}{2} \), для \( y \) — \( \frac{5 + (-7)}{2} \), для \( z \) — \( \frac{-8 + 2}{2} \). Таким образом, координаты точки \( C \) равны \( \left(\frac{-14+7}{2}; \frac{5-7}{2}; \frac{-8+2}{2}\right) \), что упрощается до \( \left(-\frac{7}{2}; -1; -3\right) \).

Далее известно, что точки \( C \) и \( D \) делят отрезок \( AB \) на три равные части, а точка \( D \) является серединой отрезка \( CB \). Это значит, что точка \( D \) находится ровно посередине между точками \( C \) и \( B \), и координаты точки \( D \) можно выразить через координаты \( C \) и \( B \) как среднее арифметическое: \( \frac{x_C + x_B}{2} = x_D \), \( \frac{y_C + y_B}{2} = y_D \), \( \frac{z_C + z_B}{2} = z_D \). Подставляя известные координаты \( C(-\frac{7}{2}; -1; -3) \) и \( D(7; -7; 2) \), получаем систему уравнений: \( \frac{-\frac{7}{2} + x}{2} = 7 \), \( \frac{-1 + y}{2} = -7 \), \( \frac{-3 + z}{2} = 2 \), где \( (x; y; z) \) — координаты искомой точки \( B \).

Решая каждое уравнение по отдельности, сначала умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Получаем: \( -\frac{7}{2} + x = 14 \), \( -1 + y = -14 \), \( -3 + z = 4 \). Отсюда \( x = 14 + \frac{7}{2} = \frac{28}{2} + \frac{7}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \), \( y = -14 + 1 = -13 \), \( z = 4 + 3 = 7 \). Таким образом, координаты точки \( B \) равны \( (17.5; -13; 7) \).