ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты вершины \( D \) параллелограмма \( ABCD \), если \( A (1; -2; 2), B (2; 6; 1), C (-1; -1; 3) \).

В параллелограмме векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \) равны, значит \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \).

Координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) равны \( (2-1; 6-(-2); 1-2) = (1; 8; -1) \).

Координаты вектора \( \overrightarrow{DC} \) равны \( (-1 — x; -1 — y; 3 — z) \).

Приравниваем координаты:

\( 1 = -1 — x \), \( 8 = -1 — y \), \( -1 = 3 — z \).

Решая, получаем:

\( x = -2 \), \( y = -9 \), \( z = 4 \).

Координаты точки \( D \) равны \( (-2; -9; 4) \).

В параллелограмме противоположные стороны равны по длине и направлению, поэтому векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \) совпадают. Это означает, что если мы вычислим координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \), то они будут равны координатам вектора \( \overrightarrow{DC} \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) находится вычитанием координат точки \( A \) из координат точки \( B \), то есть \( \overrightarrow{AB} = (2 — 1; 6 — (-2); 1 — 2) = (1; 8; -1) \).

Для вектора \( \overrightarrow{DC} \) мы знаем координаты точки \( C \), но не знаем координаты точки \( D \). Вектор \( \overrightarrow{DC} \) равен разности координат точки \( C \) и \( D \), то есть \( \overrightarrow{DC} = (-1 — x; -1 — y; 3 — z) \), где \( (x; y; z) \) — координаты искомой точки \( D \). Приравнивая соответствующие координаты векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \), получаем систему уравнений: \( 1 = -1 — x \), \( 8 = -1 — y \), \( -1 = 3 — z \).

Решая каждое уравнение, выразим неизвестные координаты точки \( D \). Из уравнения \( 1 = -1 — x \) следует \( x = -2 \). Из уравнения \( 8 = -1 — y \) получаем \( y = -9 \). Из уравнения \( -1 = 3 — z \) находим \( z = 4 \). Таким образом, координаты точки \( D \) равны \( (-2; -9; 4) \), что и является искомым ответом.