ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \( ABCD \) с вершинами в точках \( A (-2; 3; -1), B (-2; 7; -6), C (-1; 7; -6) \) и \( D (-1; 3; -1) \) является прямоугольником.

Вычислим векторы сторон: \(\overrightarrow{AB} = (0; 4; -5)\), \(\overrightarrow{BC} = (1; 0; 0)\), \(\overrightarrow{CD} = (0; -4; 5)\), \(\overrightarrow{DA} = (-1; 0; 0)\).

Проверяем равенство противоположных сторон: \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\), значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Проверяем перпендикулярность соседних сторон: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\), значит угол прямой.

Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

Для начала найдём векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\): \(\overrightarrow{AB} = (-2 — (-2); 7 — 3; -6 — (-1)) = (0; 4; -5)\). Аналогично, \(\overrightarrow{BC} = (-1 — (-2); 7 — 7; -6 — (-6)) = (1; 0; 0)\), \(\overrightarrow{CD} = (-1 — (-1); 3 — 7; -1 — (-6)) = (0; -4; 5)\), и \(\overrightarrow{DA} = (-2 — (-1); 3 — 3; -1 — (-1)) = (-1; 0; 0)\).

Далее проверяем, параллельны ли противоположные стороны. Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) связаны как \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}\), то есть они равны по длине и противоположны по направлению, что означает параллельность и равенство сторон \(AB\) и \(DC\). Аналогично, \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\), значит стороны \(BC\) и \(DA\) также параллельны и равны. Это доказывает, что четырёхугольник является параллелограммом.

Чтобы убедиться, что этот параллелограмм — прямоугольник, нужно проверить, что соседние стороны перпендикулярны. Для этого вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + (-5) \cdot 0 = 0\). Скалярное произведение равно нулю, значит угол между сторонами \(AB\) и \(BC\) равен \(90^\circ\). Поскольку в параллелограмме достаточно одного прямого угла, чтобы он был прямоугольником, можно утверждать, что четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.