ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \( ABCD \) с вершинами в точках \( A (4; 2; 10), B (10; -2; 8), C (4; -4; 4) \) и \( D (-2; 0; 6) \) является ромбом.

Вычислим векторы сторон:
\(\overrightarrow{AB} = (6; -4; -2)\),
\(\overrightarrow{DC} = (6; -4; -2)\), значит \(AB = DC\).

\(\overrightarrow{BC} = (-6; -2; -4)\),
\(\overrightarrow{AD} = (-6; -2; -4)\), значит \(BC = AD\).

Так как противоположные стороны равны, \(ABCD\) — параллелограмм.

Далее, \(AB = DC = BC = AD\), значит все стороны равны, то есть \(ABCD\) — ромб.

Вычислим векторы сторон четырёхугольника \(ABCD\) по координатам вершин. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (10 — 4; -2 — 2; 8 — 10) = (6; -4; -2)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{DC}\) находится как разность координат точки \(C\) и точки \(D\), получается \(\overrightarrow{DC} = (4 — (-2); -4 — 0; 4 — 6) = (6; -4; -2)\). Видно, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) совпадают, значит стороны \(AB\) и \(DC\) равны по длине и параллельны.

Теперь найдём вектор \(\overrightarrow{BC}\) как разность координат точки \(C\) и точки \(B\): \(\overrightarrow{BC} = (4 — 10; -4 — (-2); 4 — 8) = (-6; -2; -4)\). Вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен разности координат точки \(D\) и точки \(A\), то есть \(\overrightarrow{AD} = (-2 — 4; 0 — 2; 6 — 10) = (-6; -2; -4)\). Эти векторы тоже совпадают, следовательно, стороны \(BC\) и \(AD\) равны и параллельны. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, что указывает на то, что \(ABCD\) — параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что параллелограмм является ромбом, необходимо проверить равенство всех четырёх сторон по длине. Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется по формуле \( \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \). Аналогично длина вектора \(\overrightarrow{BC}\) равна \( \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} \). Поскольку длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равны, а противоположные стороны равны и параллельны, все стороны четырёхугольника равны по длине. Следовательно, \(ABCD\) является ромбом.