ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую плоскости \( yz \) и равноудалённую от точек \( A (2; 1; -3), B (3; 2; -2) \) и \( C (4; -3; -1) \).

Пусть точка \( U(0; y; z) \) лежит в плоскости \( yz \).

Равноудалённость от точек \( A(2; 1; -3) \) и \( C(4; -3; -1) \) даёт уравнение:
\( |UA| = |UC| \Rightarrow 4 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 \).

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
\( 2z + 2y = 3 \).

Равноудалённость от точек \( B(3; 2; -2) \) и \( C(4; -3; -1) \) даёт уравнение:
\( |UB| = |UC| \Rightarrow 9 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 \).

После раскрытия и упрощения:
\( 4z — 8y = 12 \).

Решая систему уравнений:
\( \begin{cases} 2z + 2y = 3 \\ 4z — 8y = 12 \end{cases} \),
получаем \( y = -\frac{1}{2} \), \( z = 2 \).

Ответ: \( U(0; -\frac{1}{2}; 2) \).

Точка \( U \) лежит в плоскости \( yz \), значит её координата \( x = 0 \), а остальные координаты \( y \) и \( z \) неизвестны. Нужно найти такие \( y \) и \( z \), чтобы расстояния от точки \( U(0; y; z) \) до трёх заданных точек \( A(2; 1; -3) \), \( B(3; 2; -2) \) и \( C(4; -3; -1) \) были равны. Это означает, что \( |UA| = |UB| = |UC| \).

Сначала приравняем расстояния \( |UA| \) и \( |UC| \). Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:
\( |UV| = \sqrt{(x_U — x_V)^2 + (y_U — y_V)^2 + (z_U — z_V)^2} \).
Для \( |UA| \) это будет
\( \sqrt{(0-2)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2} = \sqrt{4 + (y-1)^2 + (z+3)^2} \),
а для \( |UC| \) —
\( \sqrt{(0-4)^2 + (y+3)^2 + (z+1)^2} = \sqrt{16 + (y+3)^2 + (z+1)^2} \).
Приравнивая квадрат расстояний, чтобы избавиться от корней, получаем:
\( 4 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 \).
Раскрывая скобки и упрощая, сокращаем одинаковые члены \( y^2 \) и \( z^2 \) по обеим сторонам, что приводит к уравнению
\( 2z + 2y = 3 \).

Далее приравниваем расстояния \( |UB| \) и \( |UC| \). Аналогично вычисляем:
\( |UB| = \sqrt{(0-3)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2} = \sqrt{9 + (y-2)^2 + (z+2)^2} \).
Приравниваем квадраты:
\( 9 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 \).
Раскрывая скобки и упрощая, сокращаем одинаковые члены, получаем уравнение
\( 4z — 8y = 12 \).

Теперь решаем систему уравнений:
\( \begin{cases} 2z + 2y = 3 \\ 4z — 8y = 12 \end{cases} \).
Из первого уравнения выразим \( z = \frac{3}{2} — y \) и подставим во второе:
\( 4\left(\frac{3}{2} — y\right) — 8y = 12 \),
что даёт
\( 6 — 4y — 8y = 12 \),
или
\( -12y = 6 \),
следовательно
\( y = -\frac{1}{2} \).
Подставляя обратно в выражение для \( z \), получаем
\( z = \frac{3}{2} — \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \).

Таким образом, искомая точка \( U \) имеет координаты \( (0; -\frac{1}{2}; 2) \), что удовлетворяет условию равноудалённости от точек \( A \), \( B \) и \( C \).