ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( D (-1; 2; 4), E (5; -2; 1), F (3; -3; 5) \) являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.

Точки-середины сторон треугольника \(D, E, F\) связаны с вершинами \(A, B, C\) уравнениями: \(D = \frac{A + B}{2}\), \(E = \frac{B + C}{2}\), \(F = \frac{A + C}{2}\).

Умножая на 2, получаем систему:
\(a_1 + b_1 = -2\), \(a_2 + b_2 = 4\), \(a_3 + b_3 = 8\);
\(b_1 + c_1 = 10\), \(b_2 + c_2 = -4\), \(b_3 + c_3 = 2\);
\(a_1 + c_1 = 6\), \(a_2 + c_2 = -6\), \(a_3 + c_3 = 10\).

Решая для каждой координаты:

\(a_1 = -3\), \(b_1 = 1\), \(c_1 = 9\);

\(a_2 = 1\), \(b_2 = 3\), \(c_2 = -7\);

\(a_3 = 8\), \(b_3 = 0\), \(c_3 = 2\).

Вершины треугольника: \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\), \(C(9; -7; 2)\).

Даны точки-середины сторон треугольника \(D(-1; 2; 4)\), \(E(5; -2; 1)\), \(F(3; -3; 5)\). По определению, каждая из этих точек является серединой отрезка, соединяющего две вершины треугольника. Значит, координаты середины равны среднему арифметическому координат соответствующих вершин. Это даёт систему уравнений: \(D = \frac{A + B}{2}\), \(E = \frac{B + C}{2}\), \(F = \frac{A + C}{2}\). Распишем каждое уравнение по координатам: \( \frac{a_1 + b_1}{2} = -1\), \( \frac{a_2 + b_2}{2} = 2\), \( \frac{a_3 + b_3}{2} = 4\); \( \frac{b_1 + c_1}{2} = 5\), \( \frac{b_2 + c_2}{2} = -2\), \( \frac{b_3 + c_3}{2} = 1\); \( \frac{a_1 + c_1}{2} = 3\), \( \frac{a_2 + c_2}{2} = -3\), \( \frac{a_3 + c_3}{2} = 5\).

Для удобства умножим все уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей. Получим: \(a_1 + b_1 = -2\), \(a_2 + b_2 = 4\), \(a_3 + b_3 = 8\); \(b_1 + c_1 = 10\), \(b_2 + c_2 = -4\), \(b_3 + c_3 = 2\); \(a_1 + c_1 = 6\), \(a_2 + c_2 = -6\), \(a_3 + c_3 = 10\). Теперь у нас есть три системы по каждой координате, которые можно решить отдельно. Например, для первой координаты: \(a_1 + b_1 = -2\), \(b_1 + c_1 = 10\), \(a_1 + c_1 = 6\). Складывая первое и третье уравнения, получаем \(2a_1 + b_1 + c_1 = 4\). Из второго уравнения \(b_1 + c_1 = 10\), значит \(2a_1 + 10 = 4\), откуда \(a_1 = -3\). Подставляя это значение в первое уравнение, находим \(b_1 = 1\), а затем из второго — \(c_1 = 9\).

Аналогично решаем для второй координаты: \(a_2 + b_2 = 4\), \(b_2 + c_2 = -4\), \(a_2 + c_2 = -6\). Складываем первое и третье уравнения: \(2a_2 + b_2 + c_2 = -2\). Из второго уравнения \(b_2 + c_2 = -4\), значит \(2a_2 — 4 = -2\), отсюда \(a_2 = 1\). Подставляем в первое уравнение — \(1 + b_2 = 4\), значит \(b_2 = 3\). Из второго уравнения находим \(c_2 = -7\). Для третьей координаты: \(a_3 + b_3 = 8\), \(b_3 + c_3 = 2\), \(a_3 + c_3 = 10\). Складываем первое и третье уравнения: \(2a_3 + b_3 + c_3 = 18\). Из второго уравнения \(b_3 + c_3 = 2\), значит \(2a_3 + 2 = 18\), откуда \(a_3 = 8\). Подставляем в первое уравнение — \(8 + b_3 = 8\), значит \(b_3 = 0\). Из второго уравнения находим \(c_3 = 2\).

В итоге вершины треугольника имеют координаты: \(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\), \(C(9; -7; 2)\). Эти значения удовлетворяют исходным условиям, так как при подстановке обратно в формулы для середин отрезков получаются заданные точки \(D, E, F\). Таким образом, мы нашли точные координаты вершин треугольника по координатам его точек-середин.