ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известны координаты четырёх вершин параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1: A (2; -1; 1), B (1; 3; 4), D (6; 0; 1), A_1 (4; 2; 0) \). Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

Даны точки \( A(2; -1; 1), B(1; 3; 4), D(6; 0; 1), A_1(4; 2; 0) \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = (-1; 4; 3) \), вектор \( \overrightarrow{AD} = (4; 1; 0) \).

Координаты \( C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (5; 4; 4) \).

Вектор \( \overrightarrow{AA_1} = (2; 3; -1) \).

Координаты \( B_1 = B + \overrightarrow{AA_1} = (3; 6; 3) \).

Координаты \( D_1 = D + \overrightarrow{AA_1} = (8; 3; 0) \).

Координаты \( C_1 = C + \overrightarrow{AA_1} = (7; 7; 3) \).

Даны точки \( A(2; -1; 1) \), \( B(1; 3; 4) \), \( D(6; 0; 1) \), \( A_1(4; 2; 0) \). Сначала найдём векторы, необходимые для построения остальных точек параллелепипеда. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен разности координат \( B \) и \( A \), то есть \( \overrightarrow{AB} = (1 — 2; 3 — (-1); 4 — 1) = (-1; 4; 3) \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{AD} \) равен \( (6 — 2; 0 — (-1); 1 — 1) = (4; 1; 0) \).

Для нахождения точки \( C \) используем свойство параллелепипеда: точка \( C \) получается при сложении векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \) с точкой \( A \), то есть \( C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \). Подставляя значения, получаем \( C = (2; -1; 1) + (-1; 4; 3) + (4; 1; 0) = (2 — 1 + 4; -1 + 4 + 1; 1 + 3 + 0) =\)
\(= (5; 4; 4) \).

Далее найдём вектор \( \overrightarrow{AA_1} = A_1 — A = (4 — 2; 2 — (-1); 0 — 1) = (2; 3; -1) \). Этот вектор показывает направление и длину ребра, параллельного основанию, по которому строятся верхние вершины параллелепипеда. Тогда вершины \( B_1, D_1, C_1 \) находятся соответственно в точках \( B + \overrightarrow{AA_1} \), \( D + \overrightarrow{AA_1} \), \( C + \overrightarrow{AA_1} \). Подставляя значения, получаем \( B_1 = (1; 3; 4) + (2; 3; -1) = (3; 6; 3) \), \( D_1 = (6; 0; 1) + (2; 3; -1) = (8; 3; 0) \), \( C_1 = (5; 4; 4) + (2; 3; -1) = (7; 7; 3) \). Таким образом, координаты всех вершин параллелепипеда найдены.