ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 9 см.

Пусть расстояние от центра окружности до первой хорды \(OM = x\), тогда до второй хорды \(ON = x + 9\).

Половина первой хорды \(AB\) равна 8, половина второй \(CD\) равна 5.

По теореме Пифагора:

\(r^2 = x^2 + 8^2\) и \(r^2 = (x + 9)^2 + 5^2\).

Приравниваем:

\(x^2 + 64 = (x + 9)^2 + 25\).

Раскрываем скобки:

\(x^2 + 64 = x^2 + 18x + 81 + 25\).

Сокращаем \(x^2\):

\(64 = 18x + 106\).

Решаем уравнение:

\(18x = -42\), значит \(x = -\frac{7}{3}\).

Радиус окружности:

\(r = \sqrt{x^2 + 64} = \sqrt{\left(-\frac{7}{3}\right)^2 + 64} = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{576}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}\).

Ответ: \(r = \frac{25}{3}\) см.

Пусть центр окружности обозначен как \(O\). Рассмотрим две хорды \(AB\) и \(CD\), которые параллельны и находятся на расстоянии 9 см друг от друга. Длина первой хорды \(AB\) равна 16 см, а второй хорды \(CD\) — 10 см. Для решения задачи введём перпендикуляры из центра \(O\) на каждую хорду, обозначим их как \(OM\) и \(ON\) соответственно. Эти перпендикуляры равны расстоянию от центра окружности до каждой хорды. Обозначим \(OM = x\), тогда \(ON = x + 9\), так как хорды параллельны и расстояние между ними 9 см.

Половина длины хорды \(AB\) равна \(8\) см, а половина хорды \(CD\) равна \(5\) см. В треугольниках \(OMA\) и \(ONC\) по теореме Пифагора можно выразить радиус окружности \(r\). Для первой хорды:

\(r^{2} = x^{2} + 8^{2}\).

Для второй хорды:

\(r^{2} = (x + 9)^{2} + 5^{2}\).

Так как радиус один и тот же, приравниваем эти выражения:

\(x^{2} + 64 = (x + 9)^{2} + 25\).

Раскрываем скобки в правой части:

\(x^{2} + 64 = x^{2} + 18x + 81 + 25\).

Сокращаем \(x^{2}\) с обеих сторон:

\(64 = 18x + 106\).

Вычисляем \(x\):

\(18x = 64 — 106 = -42\),

\(x = -\frac{42}{18} = -\frac{7}{3}\).

Отрицательное значение указывает на то, что мы выбрали направление отсчёта \(x\) в обратную сторону, но по модулю расстояние равно \(\frac{7}{3}\) см.

Теперь найдём радиус окружности, используя первое уравнение:

\(r = \sqrt{x^{2} + 64} = \sqrt{\left(-\frac{7}{3}\right)^{2} + 64} = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{576}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}\).

Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{25}{3}\) см, что приблизительно равно 8,33 см.