ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 1.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна 120 см\(^2\).

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Гипотенуза равна \( \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 \) см.

Периметр основания \( P = 6 + 8 + 10 = 24 \) см.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро: \( 120 = 24 \times AA_1 \).

Отсюда \( AA_1 = \frac{120}{24} = 5 \) см.

Основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с катетами длиной 6 см и 8 см. Для начала необходимо найти длину гипотенузы этого треугольника, так как она является одной из сторон основания призмы. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна \( \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см. Таким образом, все стороны основания известны: 6 см, 8 см и 10 см.

Следующий шаг — вычислить периметр основания призмы, который равен сумме всех сторон треугольника. Периметр \( P \) равен \( 6 + 8 + 10 = 24 \) см. Это важный параметр, так как боковая поверхность призмы образована прямоугольниками, у которых одна сторона равна боковому ребру призмы, а другая — стороне основания. Площадь боковой поверхности призмы \( S_{\text{бок}} \) равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро) призмы.

Из условия задачи известно, что площадь боковой поверхности равна 120 см². Запишем это как уравнение: \( S_{\text{бок}} = P \times AA_1 \), где \( AA_1 \) — длина бокового ребра. Подставляя значения, получаем \( 120 = 24 \times AA_1 \). Для нахождения \( AA_1 \) нужно разделить обе части уравнения на 24, тогда \( AA_1 = \frac{120}{24} = 5 \) см. Таким образом, длина бокового ребра призмы равна 5 см.