ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(h\). На каком расстоянии от вершины конуса следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания?

Площадь сечения пропорциональна квадрату радиуса сечения. Радиус сечения на расстоянии \(x\) от вершины равен \(r \frac{x}{h}\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса.

Тогда площадь сечения \(S_{\text{сеч}} = \pi \left(r \frac{x}{h}\right)^2 = S_{\text{осн}} \frac{x^2}{h^2}\).

По условию \(S_{\text{сеч}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}}\).

Подставляем: \(\frac{x^2}{h^2} = \frac{1}{3}\).

Отсюда \(x = \frac{h}{\sqrt{3}}\).

Площадь основания конуса равна \(S_{\text{осн}} = \pi r^{2}\), где \(r\) — радиус основания. При сечении конуса плоскостью, перпендикулярной высоте, образуется круглая поверхность, радиус которой зависит от расстояния \(x\) от вершины конуса. Радиус этого сечения пропорционален расстоянию \(x\) и выражается формулой \(r_{x} = r \frac{x}{h}\), где \(h\) — высота конуса. Это связано с тем, что конус — фигура с линейным изменением радиуса по высоте.

Площадь сечения будет равна площади круга с радиусом \(r_{x}\), то есть \(S_{\text{сеч}} = \pi r_{x}^{2} = \pi \left(r \frac{x}{h}\right)^{2} = \pi r^{2} \frac{x^{2}}{h^{2}} = S_{\text{осн}} \frac{x^{2}}{h^{2}}\). Таким образом, площадь сечения связана с площадью основания через квадрат отношения расстояния сечения к высоте конуса.

По условию задачи площадь сечения должна быть в три раза меньше площади основания, то есть \(S_{\text{сеч}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}}\). Подставим выражение для площади сечения: \(S_{\text{осн}} \frac{x^{2}}{h^{2}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}}\). Сократив на \(S_{\text{осн}}\), получаем уравнение \(\frac{x^{2}}{h^{2}} = \frac{1}{3}\). Решая его, находим \(x = \frac{h}{\sqrt{3}}\).