ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O_1\) — центр большего основания усеченного конуса, точка \(O_2\) — центр его меньшего основания, точка \(O_3\) — середина отрезка \(O_1O_2\). Площадь большего основания равна 4 см\(^2\), а меньшего — 1 см\(^2\). Через точку \(O_3\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(O_1O_2\). Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой \(O_1O_3\) к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой \(O_2O_3\).

Площадь основания \(S = \pi r^2\). Для меньшего основания \(S_1 = \pi\), значит \(r_1 = 1\). Для большего \(S_2 = 4\pi\), значит \(r = 2\).

Радиус сечения через середину \(O_3\) равен \(r_2 = \frac{r_1 + r}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}\).

Отношение площадей боковых поверхностей:

\(\frac{S_{\text{бок},1}}{S_{\text{бок},2}} = \frac{\pi (r_1 + r_2) l_1}{\pi (r_2 + r) l_2} = \frac{(1 + \frac{3}{2}) l_1}{(\frac{3}{2} + 2) l_2} = \frac{\frac{5}{2} l_1}{\frac{7}{2} l_2} = \frac{5 l_1}{7 l_2}\).

Так как \(O_3\) середина, \(l_1 = l_2\), значит отношение равно \(\frac{5}{7}\).

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Для меньшего основания усечённого конуса дана площадь \(S_1 = \pi\), следовательно, радиус этого основания равен \(r_1 = 1\), так как \(r_1^2 = 1\). Для большего основания площадь \(S_2 = 4\pi\), значит радиус большего основания равен \(r = 2\), так как \(r^2 = 4\). Это даёт нам два радиуса, между которыми изменяется радиус усечённого конуса вдоль высоты.

Средняя плоскость проходит через середину отрезка \(O_1O_2\), поэтому её радиус \(r_2\) находится как среднее арифметическое радиусов оснований: \(r_2 = \frac{r_1 + r}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}\). Это радиус сечения усечённого конуса в средней плоскости. Высоты усечённых конусов, образованных отрезками \(O_1O_3\) и \(O_2O_3\), равны, так как \(O_3\) — середина отрезка \(O_1O_2\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi (r_{\text{нижнее}} + r_{\text{верхнее}}) l\), где \(l\) — образующая. Для верхнего усечённого конуса с высотой \(O_1O_3\) радиусы оснований \(r_1\) и \(r_2\), для нижнего с высотой \(O_2O_3\) — \(r_2\) и \(r\). Отношение площадей боковых поверхностей будет равно \(\frac{S_{\text{бок},1}}{S_{\text{бок},2}} = \frac{\pi (r_1 + r_2) l_1}{\pi (r_2 + r) l_2} = \frac{(1 + \frac{3}{2}) l_1}{(\frac{3}{2} + 2) l_2} = \frac{\frac{5}{2} l_1}{\frac{7}{2} l_2} = \frac{5 l_1}{7 l_2}\). Поскольку высоты равны, \(l_1 = l_2\), отношение равно \(\frac{5}{7}\).