ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус большего основания усечённого конуса равен \(R\), радиус меньшего основания — \(r\), а угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Высота усечённого конуса \( AH = \frac{2R — 2r}{2} = R — r \).

В треугольнике \( \triangle dBH \) \( \tan \alpha = \frac{BH}{AH} \), откуда \( BH = \tan \alpha \cdot (R — r) \).

Площадь осевого сечения \( S_{ABCD} = \frac{BE + CD}{2} \cdot BH = \frac{2r + 2R}{2} \cdot \tan \alpha \cdot (R — r) = (R + r) \cdot \tan \alpha \cdot (R — r) \).

Упростив, получаем \( S_{ABCD} = \tan \alpha \cdot (R^2 — r^2) \).

Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \( R \) и \( r \), где \( R > r \). Высоту усечённого конуса обозначим как \( AH \). Поскольку высота равна разности радиусов, умноженной на два и поделенной на два, получаем \( AH = \frac{2R — 2r}{2} = R — r \). Это расстояние между основаниями вдоль оси конуса. Далее рассмотрим треугольник \( \triangle dBH \), в котором угол между образующей и плоскостью большего основания равен \( \alpha \). По определению тангенса угла \( \alpha \) имеем отношение противолежащего катета \( BH \) к прилежащему \( AH \), то есть \( \tan \alpha = \frac{BH}{AH} \). Отсюда выражаем длину \( BH \) как \( BH = \tan \alpha \cdot (R — r) \).

Площадь осевого сечения усечённого конуса — это площадь трапеции, образованной сечением, где основания равны диаметрам меньшего и большего оснований конуса. Диаметры равны \( BE = 2r \) и \( CD = 2R \). Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S_{ABCD} = \frac{BE + CD}{2} \cdot BH \). Подставляем значения: \( S_{ABCD} = \frac{2r + 2R}{2} \cdot \tan \alpha \cdot (R — r) \). Упростив, получаем \( S_{ABCD} = (r + R) \cdot \tan \alpha \cdot (R — r) \).

Раскрывая скобки, видим, что произведение \( (r + R)(R — r) \) равно разности квадратов: \( R^2 — r^2 \). Следовательно, окончательная формула для площади осевого сечения усечённого конуса принимает вид \( S_{ABCD} = \tan \alpha \cdot (R^2 — r^2) \). Эта формула показывает, что площадь зависит от разности квадратов радиусов оснований и угла наклона образующей к плоскости основания через тангенс угла.

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Для меньшего основания усечённого конуса дана площадь \(S_1 = \pi\), следовательно, радиус этого основания равен \(r_1 = 1\), так как \(r_1^2 = 1\). Для большего основания площадь \(S_2 = 4\pi\), значит радиус большего основания равен \(r = 2\), так как \(r^2 = 4\). Это даёт нам два радиуса, между которыми изменяется радиус усечённого конуса вдоль высоты.

Средняя плоскость проходит через середину отрезка \(O_1O_2\), поэтому её радиус \(r_2\) находится как среднее арифметическое радиусов оснований: \(r_2 = \frac{r_1 + r}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}\). Это радиус сечения усечённого конуса в средней плоскости. Высоты усечённых конусов, образованных отрезками \(O_1O_3\) и \(O_2O_3\), равны, так как \(O_3\) — середина отрезка \(O_1O_2\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi (r_{\text{нижнее}} + r_{\text{верхнее}}) l\), где \(l\) — образующая. Для верхнего усечённого конуса с высотой \(O_1O_3\) радиусы оснований \(r_1\) и \(r_2\), для нижнего с высотой \(O_2O_3\) — \(r_2\) и \(r\). Отношение площадей боковых поверхностей будет равно \(\frac{S_{\text{бок},1}}{S_{\text{бок},2}} = \frac{\pi (r_1 + r_2) l_1}{\pi (r_2 + r) l_2} = \frac{(1 + \frac{3}{2}) l_1}{(\frac{3}{2} + 2) l_2} = \frac{\frac{5}{2} l_1}{\frac{7}{2} l_2} = \frac{5 l_1}{7 l_2}\). Поскольку высоты равны, \(l_1 = l_2\), отношение равно \(\frac{5}{7}\).