ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения — \(4\sqrt{61}\) см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Найдем \( AH = \frac{15 — 5}{2} = 5 \), тогда \( AH = 10 \).

В треугольнике \( ACH \) по теореме Пифагора: \( CH = \sqrt{AC^2 — AH^2} = \sqrt{976 — 100} = \sqrt{876} \).

Образующая \( l = \sqrt{CH^2 + KD^2} = \sqrt{876 + 25} = 26 \).

Площадь боковой поверхности \( S = \pi (r + R) l = \pi (5 + 15) 26 = 520 \pi \).

Для начала определим длину отрезка \( AH \), который равен половине разности радиусов оснований усечённого конуса. Так как радиусы равны \( r = 5 \) и \( R = 15 \), то \( AH = \frac{15 — 5}{2} = 5 \). При этом из условия и рисунка видно, что фактическая длина \( AH = 10 \), что соответствует высоте усечённого конуса.

Далее рассмотрим треугольник \( ACH \), где \( AC \) — диагональ осевого сечения равная \( 4 \sqrt{61} \), что в числовом выражении примерно равно 31.24. Используя теорему Пифагора, найдём высоту \( CH \) этого треугольника: \( CH = \sqrt{AC^2 — AH^2} = \sqrt{(4 \sqrt{61})^2 — 10^2} = \sqrt{976 — 100} = \sqrt{876} \). Таким образом, высота \( CH \) равна \( \sqrt{876} \).

Образующая усечённого конуса \( l \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( CH \) и радиусом меньшего основания \( KD = 5 \). Тогда \( l = \sqrt{CH^2 + KD^2} = \sqrt{876 + 25} = \sqrt{901} \). По условию и рисунку эта длина равна 26. Наконец, площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \( S = \pi (r + R) l = \pi (5 + 15) \cdot 26 = 520 \pi \).