ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В усечённом конусе проведено осевое сечение \(MM_1N_1N\) и по разные стороны от него на окружностях оснований выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\).

Пусть \(P\) — точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\).

Проведём через \(A\) и \(B\) прямую \(AB\). Точка \(P\) лежит на \(AB\) и в плоскости \(MM_1N_1N\).

Так как \(MM_1N_1N\) — осевое сечение усечённого конуса, оно плоское. Точки \(M, M_1, N, N_1\) лежат в этой плоскости.

Проведём через \(B\) прямую \(Bv\), параллельную осевому сечению \(MM_1\).

Точка \(P\) — пересечение \(AB\) и \(MN\) (линии в плоскости), то есть \(P = AB \cap MN\).

Ответ: точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\) — это точка \(P\), лежащая на отрезке \(AB\) и на линии \(MN\).

Пусть \(P\) — точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\). Для её нахождения нужно учесть, что плоскость \(MM_1N_1N\) образована четырьмя точками, лежащими в осевом сечении усечённого конуса. Эти точки — \(M\) и \(N\) на нижнем основании, а также \(M_1\) и \(N_1\) на верхнем основании. Поскольку все они лежат в одной плоскости, прямая, проходящая через любые две из них, задаёт её направление.

Прямая \(AB\) пересекает эту плоскость, если точки \(A\) и \(B\) находятся по разные стороны от неё. Для построения точки пересечения \(P\) нужно провести прямую \(AB\) и определить, где она пересекает линию \(MN\), которая лежит в плоскости \(MM_1N_1N\). Это возможно, так как линия \(MN\) является частью основания усечённого конуса и принадлежит плоскости сечения. Точка \(P\) находится как точка пересечения прямой \(AB\) с линией \(MN\).

Таким образом, точка \(P\) — это единственная точка, которая одновременно лежит на прямой \(AB\) и на линии \(MN\) в плоскости \(MM_1N_1N\). Это и есть искомая точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью осевого сечения усечённого конуса. Следовательно, \(P = AB \cap MN\), и она принадлежит отрезку \(AB\), если \(A\) и \(B\) расположены по разные стороны от плоскости.