ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет 60°. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Высота \(BH\) равна средней линии между диагоналями \(BC\) и \(AD\), значит \(BH = \frac{BC + AD}{2} = 6\), откуда \(BC + AD = 12\).

В треугольнике \(ABH\) по тангенсу угла 60°: \(\tan 60^\circ = \frac{BH}{AH}\), следовательно \(AH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\).

По синусу 60° в треугольнике \(ABD\): \(\sin 60^\circ = \frac{BH}{AD}\), значит \(AD = \frac{6}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса \(S = \pi (R + r) l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \pi\).

Диагонали осевого сечения усечённого конуса \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны, и высота усечённого конуса равна \(BH = 6\). Поскольку \(BH\) является средней линией между диагоналями, она равна половине суммы \(BC\) и \(AD\), то есть \(BH = \frac{BC + AD}{2} = 6\). Отсюда следует, что сумма диагоналей равна \(BC + AD = 12\). Это важное соотношение позволяет связать размеры оснований усечённого конуса.

Рассмотрим треугольник \(ABH\), где угол между образующей и плоскостью основания равен \(60^\circ\). По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике, \(\tan 60^\circ = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет} = \frac{BH}{AH}\). Подставляя известные значения, получаем \(\sqrt{3} = \frac{6}{AH}\), откуда \(AH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}\). Это значение \(AH\) соответствует длине образующей усечённого конуса.

Далее, в треугольнике \(ABD\) используем синус угла \(60^\circ\), который равен отношению противолежащего катета \(BH\) к гипотенузе \(AD\), то есть \(\sin 60^\circ = \frac{BH}{AD}\). Подставляя значения, получаем \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AD}\), откуда \(AD = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}\). Теперь, зная \(AD\) и сумму диагоналей, можем найти радиусы оснований: больший радиус \(R = \frac{BC}{2} = \frac{12 — AD}{2} = \frac{12 — 4 \sqrt{3}}{2}\), а меньший радиус \(r = \frac{AD}{2} = 2 \sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S = \pi (R + r) l\), где \(l = AH = 2 \sqrt{3}\) — длина образующей. Подставляя значения, имеем \(S = \pi (3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 6 = \pi \cdot 6 \cdot 4 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \pi\). Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(24 \sqrt{3} \pi\).