ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(t\) и составляет с плоскостью большего основания угол \(\alpha\), а диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

В треугольнике \( AOD \) по определению косинуса угла: \(\cos \alpha = \frac{m}{AD}\), откуда \(AD = \frac{m}{\cos \alpha}\). Радиус большего основания равен \(r = \frac{AD}{2} = \frac{m}{2 \cos \alpha}\).

Радиус меньшего основания \(r_1\) находим из условия перпендикулярности диагонали и образующей: \(r_1 = -\frac{m \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha}\).

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник \( AOD \). В этом треугольнике сторона \( AD \) является диагональю осевого сечения, а \( m \) — образующей конуса. По условию, угол между образующей \( m \) и плоскостью большего основания равен \( \alpha \). Используя определение косинуса угла, можно записать равенство \( \cos \alpha = \frac{m}{AD} \). Отсюда следует, что длина диагонали \( AD \) равна \( \frac{m}{\cos \alpha} \).

Радиус большего основания усечённого конуса равен половине длины диагонали \( AD \), так как \( AD \) — это диаметр основания. Значит, радиус большего основания можно выразить формулой \( r = \frac{AD}{2} = \frac{m}{2 \cos \alpha} \). Это выражение показывает, как радиус зависит от длины образующей и угла \( \alpha \) между образующей и плоскостью основания.

Для нахождения радиуса меньшего основания \( r_1 \) используем условие, что диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Это условие приводит к выражению \( r_1 = -\frac{m \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha} \). Здесь используется формула двойного угла для косинуса: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha — 1 \). Знак минус показывает направление радиуса меньшего основания относительно большего. Таким образом, радиусы оснований усечённого конуса выражены через длину образующей и угол \( \alpha \).