ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\), а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен \(\beta\). Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если его высота равна \(h\).

Рассмотрим усечённый конус с высотой \( h \) и радиусами оснований \( R_1 \) и \( R_2 \). Углы \( \alpha \) и \( \beta \) связаны с геометрией конуса через тангенсы: \( \tan \alpha = \frac{R_1 — R_2}{h} \) и \( \tan \beta = \frac{R_1 + R_2}{h} \).

Сложим и вычтем эти уравнения, чтобы выразить радиусы:
\( R_1 = \frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{2} \), \( R_2 = \frac{h(\tan \beta — \tan \alpha)}{2} \).

Используя котангенсы, получаем формулу для радиусов оснований усечённого конуса:
\( R = \frac{h(\cot \beta + \cot \alpha)}{2} \).

1. Рассмотрим усечённый конус с высотой \( h \) и радиусами оснований \( R_1 \) и \( R_2 \). Угол между образующей конуса и плоскостью большего основания равен \( \alpha \), а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен \( \beta \). Обозначим образующую конуса через \( l \). По определению, тангенс угла \( \alpha \) равен отношению разности радиусов к высоте: \( \tan \alpha = \frac{R_1 — R_2}{h} \).

2. Угол \( \beta \) связан с диагональю осевого сечения, которая представляет собой отрезок, соединяющий точки на большом и малом основании через боковую поверхность. Тангенс угла \( \beta \) равен отношению суммы радиусов к высоте: \( \tan \beta = \frac{R_1 + R_2}{h} \). Из этих двух соотношений можно выразить радиусы через углы и высоту.

3. Решая систему уравнений, получаем:
\[
R_1 — R_2 = h \tan \alpha, \quad R_1 + R_2 = h \tan \beta.
\]
Складывая и вычитая, находим:
\[
2R_1 = h (\tan \alpha + \tan \beta), \quad 2R_2 = h (\tan \beta — \tan \alpha).
\]
Преобразуя через котангенсы (используя \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \)), окончательно получаем радиусы оснований усечённого конуса:
\[
R = \frac{h(\cot \beta + \cot \alpha)}{2}.
\]