ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна \(12\pi\) см\(^2\). В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен \(3\sqrt{3}\) см?

Пусть \(R = 3\sqrt{3}\) см — радиус основания, \(S = 27\pi\) см² — площадь основания. Площадь сечения \(S_1 = 12\pi\) см², радиус сечения \(r\).

Из пропорции площадей \( \frac{S_1}{S} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} \), значит \(r^2 = 12\), откуда \(r = 2\sqrt{3}\).

По подобию треугольников отношение радиусов равно отношению высот: \(\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\).

Отношение деления высоты: \(\frac{h}{H — h} = \frac{2}{3 — 2} = \frac{2}{1}\).

Пусть \(R = 3\sqrt{3}\) см — радиус основания конуса, а \(H\) — его высота. Площадь основания конуса равна \(S = \pi R^{2} = \pi (3\sqrt{3})^{2} = \pi \cdot 27 = 27\pi\) см². Плоскость, перпендикулярная высоте, пересекает конус, образуя круг с площадью сечения \(S_1 = 12\pi\) см². Радиус этого сечения обозначим как \(r\).

Чтобы найти радиус сечения, используем формулу площади круга: \(S_1 = \pi r^{2}\). Отсюда следует, что \(r^{2} = \frac{S_1}{\pi} = \frac{12\pi}{\pi} = 12\), значит \(r = 2\sqrt{3}\) см. Это радиус круга, образованного сечением. Поскольку сечение параллельно основанию и перпендикулярно высоте, радиусы основания и сечения связаны пропорцией, соответствующей высотам: \(\frac{r}{R} = \frac{h}{H}\), где \(h\) — расстояние от вершины конуса до плоскости сечения.

Подставляя значения радиусов, получаем \(\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3} = \frac{h}{H}\). Это значит, что высота, на которой сделано сечение, составляет \(\frac{2}{3}\) от полной высоты конуса. Чтобы найти отношение, в котором плоскость делит высоту, рассмотрим отрезки \(h\) и \(H — h\). Тогда отношение равно \(\frac{h}{H — h} = \frac{\frac{2}{3}H}{H — \frac{2}{3}H} = \frac{\frac{2}{3}H}{\frac{1}{3}H} = \frac{2}{1}\).

Таким образом, плоскость сечения делит высоту конуса в отношении \(2 : 1\), считая от вершины вниз. Это означает, что расстояние от вершины до сечения в два раза больше расстояния от сечения до основания.