ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми равен 90°, проведена плоскость, пересекающая большее основание по хорде длиной \(a\), а меньшее — по хорде длиной \(b\), и отсекающая от окружности каждого основания дугу, градусная мера которой 120°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

В треугольнике с углом 120° по теореме косинусов: \(a^2 = 2r^2 + 2r^2 \cdot \frac{1}{2} = 3r^2\), отсюда \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Аналогично для меньшего основания: \(b^2 = 3r_1^2\), значит \(r_1 = \frac{b}{\sqrt{3}}\).

Высота \(h = \sqrt{r^2 — r_1^2} = \frac{\sqrt{a^2 — b^2}}{\sqrt{3}}\).

Длина образующей \(l = r + r_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{a + b}{\sqrt{3}}\).

Площадь боковой поверхности \(S = \frac{1}{2} (a — b) \sqrt{2} = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6 (a^2 — b^2)}\).

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle AOD \), где угол при вершине \( O \) равен 120°. По теореме косинусов для стороны \( a \) имеем формулу: \( a^2 = AO^2 + OD^2 — 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos 120^\circ \). Поскольку \( AO = OD = r \) (радиус большего основания), подставим и упростим: \( a^2 = r^2 + r^2 — 2 r^2 \cdot \cos 120^\circ = 2r^2 — 2r^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2r^2 + r^2 = 3r^2 \). Отсюда радиус большего основания равен \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

2. Аналогично рассмотрим треугольник \( \triangle BOC \) для меньшего основания с радиусом \( r_1 \). По той же теореме косинусов: \( b^2 = r_1^2 + r_1^2 — 2 r_1^2 \cdot \cos 120^\circ = 2r_1^2 — 2r_1^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2r_1^2 + r_1^2 = 3r_1^2 \). Следовательно, радиус меньшего основания равен \( r_1 = \frac{b}{\sqrt{3}} \).

3. Высота усечённого конуса \( h \) связана с радиусами по формуле: \( h = \sqrt{r^2 — r_1^2} \), так как образующая и высота образуют прямоугольный треугольник с радиусами. Подставляя значения радиусов, получаем \( h = \sqrt{\frac{a^2}{3} — \frac{b^2}{3}} = \frac{\sqrt{a^2 — b^2}}{\sqrt{3}} \).

4. Длина образующей \( l \) равна сумме радиусов оснований, то есть \( l = r + r_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{a + b}{\sqrt{3}} \).

5. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется как произведение полусуммы периметров оснований на длину образующей, умноженное на коэффициент, учитывающий угол 120°. Формула принимает вид: \( S = \frac{1}{6} \pi \sqrt{6 (a^2 — b^2)} \).