ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиусы оснований усеченного конуса равны \(R\) и \(r\), \(R > r\). Через две образующие проведена плоскость, пересекающая основания усечённого конуса по хордам, стягивающим дуги \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)), и образующая с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Найти площадь боковой поверхности усечённого конуса \( S_{ABCD} \).

Формула площади боковой поверхности усечённого конуса:

\( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot l \),

где \( BC \) и \( AD \) — длины оснований, \( l \) — образующая.

В данном случае:

\( BC = 2\pi r \), \( AD = 2\pi R \),

тогда

\( S_{ABCD} = \frac{2\pi r + 2\pi R}{2} \cdot l = \pi (R + r) l \).

Длина образующей \( l \) выражается через высоту \( h \) и радиусы:

\( l = \frac{(R — r)}{\cos \beta} \sin \alpha \).

Используя данные из рисунка и формулы:

\( S_{ABCD} = \frac{(R^2 — r^2) \sin \alpha}{2 \cos \beta} \).

Рассмотрим усечённый конус с основаниями BC и AD, радиусами \(r\) и \(R\) соответственно. Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса \(S_{ABCD}\) используется формула средней длины окружностей оснований, умноженной на длину образующей. То есть площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы длин оснований на длину боковой стороны. Запишем это так: \(S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot l\), где \(l\) — длина образующей.

Длины оснований BC и AD связаны с радиусами окружностей: \(BC = 2 \pi r\), \(AD = 2 \pi R\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \(S_{ABCD} = \frac{2 \pi r + 2 \pi R}{2} \cdot l = \pi (R + r) l\). Теперь нужно выразить длину образующей \(l\) через известные параметры. Из геометрии усечённого конуса известно, что длина образующей связана с разностью радиусов и углами наклона боковой поверхности. В данном случае \(l = \frac{(R — r)}{\cos \beta} \sin \alpha\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — углы, показанные на рисунке.

Подставляя длину образующей в формулу площади, получаем итоговое выражение: \(S_{ABCD} = \frac{(R^2 — r^2) \sin \alpha}{2 \cos \beta}\). Это выражение показывает, что площадь боковой поверхности усечённого конуса зависит от разности квадратов радиусов оснований, синуса угла \(\alpha\) и косинуса угла \(\beta\). Таким образом, используя геометрические свойства и тригонометрические соотношения, мы нашли формулу для площади боковой поверхности усечённого конуса.