ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Найти: \(S_{\text{п. в.}}\).

Решение:

\(S_{\text{п. в.}} = S_{\text{п. усеч. к.}} — S_{к.} — S_{к.} = 8 \pi a^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}\).

Для нахождения площади полной поверхности усечённого конуса \(S_{\text{п. в.}}\) сначала нужно понять, из каких частей она состоит. В задаче указано, что \(S_{\text{п. в.}}\) равна разности площади полной поверхности усечённого конуса \(S_{\text{п. усеч. к.}}\) и площадей двух кругов основания \(S_{к.}\), то есть верхнего и нижнего оснований. Это связано с тем, что при построении фигуры площадь усечённого конуса включает боковую поверхность и два круга, а нам нужно найти только боковую поверхность, исключая основания.

Формула для площади полной поверхности усечённого конуса обычно записывается как сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Площадь одного круга основания равна \(\pi a^2\), где \(a\) — радиус основания. В данном случае, чтобы получить площадь боковой поверхности, из общей площади усечённого конуса вычитаются площади двух кругов оснований. В результате получается выражение: \(S_{\text{п. в.}} = S_{\text{п. усеч. к.}} — S_{к.} — S_{к.}\).

В итоге, подставляя известные значения и учитывая геометрические параметры, получаем формулу для площади боковой поверхности усечённого конуса: \(S_{\text{п. в.}} = 8 \pi a^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}\). Здесь \(\alpha\) — угол, связанный с наклоном боковой поверхности, а \(\cos^2 \frac{\alpha}{2}\) отражает влияние этого угла на площадь. Таким образом, площадь боковой поверхности выражается через радиус основания и косинус половины угла наклона.