ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Рассмотрим равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и углом при вершине \(\alpha\). Высота, опущенная из вершины угла \(\alpha\), делит основание на две равные части по \(\frac{a}{2}\). Боковая сторона равна \(a \cot \frac{\alpha}{2}\).

При вращении треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину угла \(\alpha\) и перпендикулярной боковой стороне, образуется тело вращения. Площадь поверхности этого тела состоит из площади боковой поверхности и основания.

Площадь поверхности тела вращения равна
\(S = \pi a^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2} \left( 2 \sin \frac{\alpha}{2} + 1 \right)\).

Рассмотрим равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и углом при вершине \(\alpha\), который противоположен основанию. Пусть данный треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла \(\alpha\) и перпендикулярной одной из боковых сторон. Для нахождения площади поверхности тела вращения необходимо определить геометрические параметры, связанные с этим вращением.

Во-первых, так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны. Угол при вершине равен \(\alpha\), значит каждый из углов при основании равен \(\frac{\pi — \alpha}{2}\). Высота, опущенная из вершины угла \(\alpha\), делит основание \(a\) на две равные части по \(\frac{a}{2}\). Для вычисления длины боковой стороны используем формулу через угол: боковая сторона равна \(a \cot \frac{\alpha}{2}\). Это связано с тем, что в прямоугольном треугольнике, образующемся высотой, катет равен половине основания, а другой катет — высоте, и тангенс угла равен отношению этих катетов.

Во-вторых, при вращении треугольника вокруг указанной прямой, образуется тело вращения, поверхность которого состоит из двух частей: боковой поверхности и основания. Площадь поверхности тела вращения рассчитывается по формуле
\(S = \pi a^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2} \left( 2 \sin \frac{\alpha}{2} + 1 \right)\).
Здесь \(\pi a^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2}\) отражает площадь круга, образованного вращением боковой стороны, а множитель \(\left( 2 \sin \frac{\alpha}{2} + 1 \right)\) учитывает длину дуги и высоту, связанную с углом \(\alpha\). Таким образом, выражение полностью описывает площадь поверхности тела, полученного вращением треугольника вокруг заданной оси.