ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь равнобедренного треугольника равна \(S\), а угол между его боковыми сторонами равен \(\alpha\). Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть площадь равнобедренного треугольника равна \( S \), угол между боковыми сторонами равен \( \alpha \).

Площадь поверхности тела вращения равна разности площади сферы, описанной вокруг вершины угла, и площади основания конуса:

1. Площадь поверхности тела вращения

\( S_{\text{пов}} = S_{\text{сфера}} — S_{\text{конус}} \).

2. Выражение для площади поверхности тела вращения:

\( S_{\text{пов}} = \frac{4 \pi S \left(1 + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2}} \).

Пусть площадь равнобедренного треугольника равна \( S \), а угол между его боковыми сторонами равен \( \alpha \). Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании, перпендикулярно основанию. Для нахождения площади поверхности тела вращения рассмотрим сначала геометрические фигуры, связанные с вращением.

1. При вращении треугольника вокруг указанной прямой образуется тело, состоящее из части сферы и конуса. Полная поверхность тела вращения равна разности площади сферической поверхности и площади основания конуса, так как основание конуса совпадает с основанием треугольника.

2. Площадь поверхности сферы, образованной вращением, выражается как \( S_{\text{сфера}} = 4 \pi R^2 \), где \( R \) — радиус сферы. В данном случае радиус связан с площадью треугольника и углом \( \alpha \). Радиус можно выразить через площадь \( S \) и угол \( \alpha \), учитывая, что площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол равна \( S = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \), где \( a \) — боковая сторона.

3. Площадь основания конуса, которая вычитается из площади сферы, равна \( S_{\text{конус}} = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания конуса. Этот радиус выражается через боковую сторону и угол \( \alpha \) как \( r = a \sin \frac{\alpha}{2} \).

Объединяя эти выражения и подставляя связь между площадью треугольника и параметрами фигуры, получаем формулу для площади поверхности тела вращения:

1. \( S_{\text{пов}} = S_{\text{сфера}} — S_{\text{конус}} \).

2. Подставляя выражения для сферической и конусной поверхностей, находим

\( S_{\text{пов}} = \frac{4 \pi S \left(1 + \sin \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2}} \).

Эта формула учитывает геометрию треугольника и угол между боковыми сторонами, позволяя вычислить площадь поверхности тела вращения.