ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Полупериметр \(p = \frac{4+13+15}{2} = 16\).

Площадь треугольника \(S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{576} = 24\).

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{24}{16} = 1.5\).

Площадь круга \(= \pi r^2 = \pi \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \pi\) см\(^2\).

Для начала вычислим полупериметр треугольника. Полупериметр — это половина суммы всех сторон, и он обозначается как \(p\). В нашем случае стороны равны 4 см, 13 см и 15 см, поэтому \(p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16\) см. Этот параметр необходим для дальнейших вычислений площади треугольника по формуле Герона.

Далее используем формулу Герона для нахождения площади треугольника. Формула выглядит так: \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, а \(p\) — полупериметр. Подставим наши значения: \(S = \sqrt{16(16 — 4)(16 — 13)(16 — 15)} = \sqrt{16 \times 12 \times 3 \times 1} = \sqrt{576} = 24\) см\(^2\). Таким образом, площадь треугольника равна 24 квадратным сантиметрам.

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Радиус \(r\) вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр. Подставим наши значения: \(r = \frac{24}{16} = 1.5\) см. Наконец, площадь вписанной окружности вычисляется по формуле площади круга: \( \pi r^{2} = \pi \times \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \pi \times \frac{9}{4} = \frac{9}{4} \pi\) см\(^2\).