ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его меньшего угла.

Катеты треугольника \(BC = 18\), \(AC = 24\). Гипотенуза \(AB = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = 30\).

Обозначим \(CB_1 = x\), тогда \(B_1D = 18 — x\).

По свойству биссектрисы \(\frac{B_1D}{CB_1} = \frac{AB}{AC}\), подставляем:

\(\frac{18 — x}{30} = \frac{x}{24}\).

Перемножаем: \(24(18 — x) = 30x\), получаем \(432 — 24x = 30x\), значит \(54x = 432\), откуда \(x = 8\).

Тогда \(CB_1 = 8\), \(B_1D = 10\).

Длина биссектрисы \(BB_1 = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\).

В решении на фото длина \(BB_1 = \sqrt{64 + 576} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\).

Дано прямоугольный треугольник с катетами \(BC = 18\) и \(AC = 24\). Сначала находим гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{18^{2} + 24^{2}} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\). Это важно, так как биссектриса из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка, отношение которых связано с катетами.

Обозначим точку пересечения биссектрисы с гипотенузой как \(B_1\). Пусть \(CB_1 = x\), тогда оставшийся отрезок \(B_1D = 18 — x\) (где \(D\) — точка на катете). По свойству биссектрисы в треугольнике, отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, равно отношению соседних сторон: \(\frac{B_1D}{CB_1} = \frac{AB}{AC}\). Подставляем известные значения: \(\frac{18 — x}{30} = \frac{x}{24}\).

Решая уравнение, умножаем крест-накрест: \(24(18 — x) = 30x\), что даёт \(432 — 24x = 30x\). Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(432 = 54x\), откуда \(x = \frac{432}{54} = 8\). Значит, \(CB_1 = 8\), а \(B_1D = 10\).

Теперь найдём длину биссектрисы \(BB_1\). По теореме Пифагора в треугольнике с катетами \(CB_1 = 8\) и \(B_1D = 10\), гипотенуза (биссектриса) равна \(BB_1 = \sqrt{8^{2} + 10^{2}} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\). В решении на фото, однако, длина биссектрисы считается как \(BB_1 = \sqrt{64 + 576} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\), что совпадает с ответом на изображении.