ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом 120°. Угол между диагоналями равных боковых граней, проведёнными из одной вершины верхнего основания, равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Основание призмы — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(8\) см и углом \(120^\circ\). По теореме косинусов находим сторону \(AC\):

\(AC^2 = 8^2 + 8^2 — 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 64 + 64 + 64 = 192\), значит \(AC = 8 \sqrt{3}\) см.

Периметр основания \(P = 8 + 8 + 8 \sqrt{3} = 16 + 8 \sqrt{3}\).

По условию угол между диагоналями равен \(90^\circ\), высота призмы равна \(4 \sqrt{2}\).

Площадь боковой поверхности \(S = P \cdot h = (16 + 8 \sqrt{3}) \cdot 4 \sqrt{2} = 64 \sqrt{2} + 32 \sqrt{6}=32 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 2)\) см².

Основание призмы представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами длиной \(8\) см и углом \(120^\circ\) между ними. Для нахождения третьей стороны \(AC\) применяем теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это выражается формулой \(AC^{2} = 8^{2} + 8^{2} — 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ\). Подставляя значения, получаем \(AC^{2} = 64 + 64 — 128 \cdot \cos 120^\circ\). Поскольку \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), выражение становится \(AC^{2} = 128 + 64 = 192\), откуда \(AC = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3}\) см.

Далее находим периметр основания треугольника, который равен сумме всех его сторон: \(P = 8 + 8 + 8 \sqrt{3} = 16 + 8 \sqrt{3}\) см. Это значение важно, так как площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Высоту призмы \(h\) необходимо определить из условия, что угол между диагоналями боковых граней равен \(90^\circ\). Этот угол задаёт взаимное расположение граней, что позволяет вывести высоту призмы равной \(4 \sqrt{2}\) см.

Теперь вычисляем площадь боковой поверхности призмы по формуле \(S = P \cdot h\). Подставляя найденные значения, получаем \(S = (16 + 8 \sqrt{3}) \cdot 4 \sqrt{2}\). Раскрывая скобки, имеем \(S = 16 \cdot 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{2} = 64 \sqrt{2} + 32 \sqrt{6}=32 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 2)\) см². Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(32 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 2)\) квадратных сантиметров.