ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 4 см и 6 см, а образующая — 3 см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l\). Подставляем значения: \(S_{\text{бок}} = \pi (4 + 6) \times 3 = 30 \pi\).

Площадь оснований равна сумме площадей двух кругов: \(S_1 = \pi 4^2 = 16 \pi\), \(S_2 = \pi 6^2 = 36 \pi\).

Полная площадь поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований: \(S_{\text{пол}} = 30 \pi + 16 \pi + 36 \pi = 82 \pi\).

Ответ: \(82 \pi\) см².

Для нахождения полной площади поверхности усечённого конуса необходимо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность усечённого конуса представляет собой часть поверхности, образованную движением образующей длиной \( l \) между двумя круглыми основаниями с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \). Формула для площади боковой поверхности усечённого конуса выражается как \( S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l \). Здесь \( \pi \) — математическая константа, приближённо равная 3.14159, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы нижнего и верхнего оснований соответственно, а \( l \) — длина образующей.

Подставим данные из условия: \( r_1 = 4 \) см, \( r_2 = 6 \) см, \( l = 3 \) см. Тогда площадь боковой поверхности равна \( \pi (4 + 6) \times 3 = \pi \times 10 \times 3 = 30 \pi \) см². Это означает, что боковая поверхность занимает площадь, равную тридцати умноженным на \( \pi \) квадратным сантиметрам.

Далее необходимо вычислить площади двух оснований — они являются кругами с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \). Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \). Для нижнего основания с радиусом 4 см площадь будет \( \pi \times 4^2 = \pi \times 16 = 16 \pi \) см². Для верхнего основания с радиусом 6 см площадь равна \( \pi \times 6^2 = \pi \times 36 = 36 \pi \) см². Сложив площади боковой поверхности и двух оснований, получаем полную площадь поверхности усечённого конуса: \( S_{\text{пол}} = 30 \pi + 16 \pi + 36 \pi = 82 \pi \) см².