ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дана трапеция \(ABCD\) такая, что \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой \(AB\).

Дано: \(AB = 6\sqrt{3}\), \(BC = 2\), \(\angle D = 60^\circ\).

Найдем \(CD\) из треугольника \(C D H\): \(\sin 60^\circ = \frac{6\sqrt{3}}{CD}\), значит \(CD = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 12\).

Найдем \(HD\): \(\cos 60^\circ = \frac{HD}{CD}\), значит \(HD = CD \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).

Длина основания \(AD = AB + HD = 2 + 6 = 8\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \(S = \pi (r + R) l = \pi (2 + 8) \cdot 12 = 120 \pi\).

Трапеция \(ABCD\) имеет основания \(BC\) и \(AD\), где \(BC \parallel AD\) и \(AB \perp AD\). Дано \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, и угол при вершине \(D\) равен \(60^\circ\). Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса, образованного вращением трапеции вокруг прямой \(AB\), сначала определим все необходимые размеры.

В треугольнике \(C D H\), где \(H\) — проекция точки \(D\) на \(AB\), длина \(CH\) равна \(AB = 6\sqrt{3}\). Из условия угла \(60^\circ\) следует, что \(\sin 60^\circ = \frac{CH}{CD}\). Подставляя известные значения, получаем \(CD = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}\). Поскольку \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), вычисляем \(CD = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12\) см. Таким образом, длина наклонной стороны \(CD\) равна 12 см.

Далее найдём длину \(HD\). Из того же треугольника \(C D H\) известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{HD}{CD}\), откуда \(HD = CD \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см. Теперь длина основания \(AD\) равна сумме \(AB\) и \(HD\), то есть \(AD = AB + HD = 2 + 6 = 8\) см. После этого вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса по формуле \(S = \pi (r + R) l\), где \(r = BC = 2\), \(R = AD = 8\), а образующая \(l = CD = 12\). Подставляя значения, получаем \(S = \pi (2 + 8) \cdot 12 = 120 \pi\) см\(^{2}\).